Để tìm điều kiện của tứ diện \(ABCD\) sao cho tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi, ta cần dựa vào tính chất của các trung điểm và sự bằng nhau của các cặp cạnh.

1. **Xác định tọa độ của các điểm**:
- Gọi tọa độ của các điểm \(A, B, C, D\) lần lượt là:
- \(A(x_1, y_1, z_1)\)
- \(B(x_2, y_2, z_2)\)
- \(C(x_3, y_3, z_3)\)
- \(D(x_4, y_4, z_4)\)

2. **Tính tọa độ các trung điểm**:
- Tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\):
\[
M\left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2}\right)
\]
- Tọa độ trung điểm \(N\) của \(BC\):
\[
N\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}, \frac{z_2 + z_3}{2}\right)
\]
- Tọa độ trung điểm \(P\) của \(BD\):
\[
P\left(\frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}, \frac{z_2 + z_4}{2}\right)
\]
- Tọa độ trung điểm \(Q\) của \(AD\):
\[
Q\left(\frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2}, \frac{z_1 + z_4}{2}\right)
\]

3. **Điều kiện để \(MNPQ\) là hình thoi**:
- Tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi khi có các cặp cạnh đối diện bằng nhau, tức là:
\[
MN = PQ \quad \text{và} \quad MP = NQ
\]

4. **Tính độ dài các cạnh**:
- Tính các độ dài \(MN\), \(PQ\), \(MP\), và \(NQ\):
- Đối với mỗi độ dài, bạn có thể dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều.

5. **Rút ra điều kiện**:
- Nếu các độ dài thoả mãn điều kiện \(MN = PQ\) và \(MP = NQ\), đây chính là điều kiện để tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi.

Tuy nhiên, tìm điều kiện cụ thể về vị trí của các điểm \(A, B, C, D\) để thoả mãn hai điều kiện trên có thể sẽ cần giải quyết các phương trình độ dài và kiểm tra sự đồng quy của các đường chéo. Việc này có thể trở nên phức tạp và có thể dẫn đến các điều kiện hình học cụ thể như việc \(ABCD\) phải là hình chóp hay hình hộp chữ nhật hay có các tính chất đối xứng đặc biệt.