Để giải quyết các bài toán này, ta cần áp dụng một số kiến thức hình học không gian.

### Câu 13

Cho tứ diện \( ABCD \) với \( I \) và \( J \) là trung điểm của các cạnh \( BC \) và \( BD \). Mặt phẳng \( (P) \) qua \( I \) và \( J \) cắt \( AC \) và \( AD \) tại các điểm \( M \) và \( N \).

**a)** \( IJ = \frac{1}{2} CD \)
- Để chứng minh điều này, ta có thể áp dụng định lý về tỉ lệ của các đoạn thẳng trong hình học không gian, sử dụng phương pháp tọa độ hoặc hệ trục tọa độ.

**b)** \( MN \) cắt \( DC \)
- Để chứng minh \( MN \) cắt \( DC \), ta có thể sử dụng tính chất của mặt phẳng và sự liên quan giữa các điểm \( M \), \( N \) và các cạnh \( DC \).

**c)** \( IJNM \) là một hình thang
- Hình trò trong \( IJNM \) sẽ có tính chất đối diện. Phải kiểm tra xem các đoạn thẳng \( IJ \) và \( MN \) có song song hay không.

**d)** Để \( IJNM \) là hình bình hành thì \( M \) phải là trung điểm của đoạn \( AC \).
- Đây là một tính chất có thể kiểm tra bằng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tứ diện.

### Câu 14

Cho hình chóp \( S.ABCD \) với đáy \( ABCD \) là hình bình hành. Gọi \( M, N \) lần lượt là trung điểm các cạnh \( AB \) và \( CD \), \( P \) là trung điểm cạnh \( SA \).

**a)** \( MN \parallel (SBC) \)
- Phải chứng minh rằng hai đoạn \( MN \) và \( BC \) song song, do đó có thể sử dụng tính chất của trung điểm.

**b)** \( MN \parallel (SAD) \)
- Tương tự như phần trên, kiểm tra sự song song giữa các đoạn là cần thiết.

**c)** \( SB \) cắt với mặt phẳng \( (MNP) \)
- Chứng minh rằng \( SB \) cắt mặt phẳng \( (MNP) \) bằng cách sử dụng định lý giao tuyến của mặt phẳng.

**d)** \( SC \) cắt với mặt phẳng \( (MNP) \)
- Phân tích tình huống này cũng tương tự như trên.

Mỗi phần cần có hình vẽ và các chứng minh chi tiết để xác nhận tính chính xác của các khẳng định. Bạn có thể áp dụng hình học phẳng và không gian để chứng minh các tính chất.