Để giải bài toán này, ta cần tổ chức lại thông tin và thực hiện các bước chứng minh theo từng yêu cầu.

1. **Chứng minh bốn điểm O, A, M, C cùng thuộc một đường tròn**:
- Đầu tiên, ta có thể thấy rằng AC là tiếp tuyến tại A, do đó góc OAC = 90 độ.
- Tiếp theo, vì M nằm trên đường tròn (O; R) nên OM = R.
- Góc AMC = góc AOM = 90 độ (do MA là tiếp tuyến).
- Do đó, bốn điểm O, A, M, C cùng nằm trên một đường tròn với đường kính OA.

2. **Chứng minh \(OM \perp AC\) và \(OM \parallel BC\)**:
- Vì AC là tiếp tuyến tại A nên OM vuông góc với AC (vì góc OA cũng vuông góc với AC tại A).
- Cùng lúc đó, từ tính chất của các đường thẳng song song, nếu AB // AC thì sẽ có \(OM \parallel BC\).

3. **Qua điểm O kẻ đường thẳng song song với AC**:
- Kẻ đường thẳng OP song song với AC sẽ cắt đường tròn tại điểm E.
- Các tính chất của hình học sẽ cho thấy BE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R), đồng nghĩa với việc góc OBE = 90 độ.

4. **Gọi H là hình chiếu của C trên AB**:
- Đoạn thẳng MB sẽ đi qua trung điểm H của AC, cho nên H sẽ nằm giữa M và B, tạo ra các mối quan hệ về tỉ lệ trong tam giác.

Khi đã diễn giải và hình dung rõ ràng các bước và chứng minh theo hình học, bạn có thể đi đến kết luận cuối cùng cho bài toán này.