Tìm hệ số của x^5 trong khai triển

Để tìm hệ số của \( x^5 \) trong khai triển của biểu thức

\[
P = x(1-2x)^n + x^2(1+3x)^{2n}
\]

chúng ta sẽ xem xét từng phần.

### Phần 1: \( x(1-2x)^n \)

Khai triển \( (1-2x)^n \) theo định lý nhị thức Newton:

\[
(1-2x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-2)^k x^k
\]

Vậy \( x(1-2x)^n \) có thể viết lại như sau:

\[
x(1-2x)^n = x \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-2)^k x^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-2)^k x^{k+1}
\]

Để tìm hệ số của \( x^5 \), ta cần \( k + 1 = 5 \), tức là \( k = 4 \). Như vậy, hệ số của \( x^5 \) từ phần này là:

\[
\binom{n}{4} (-2)^4 = \binom{n}{4} \cdot 16
\]

### Phần 2: \( x^2(1+3x)^{2n} \)

Khai triển \( (1+3x)^{2n} \):

\[
(1+3x)^{2n} = \sum_{m=0}^{2n} \binom{2n}{m} (3x)^m = \sum_{m=0}^{2n} \binom{2n}{m} 3^m x^m
\]

Do đó, \( x^2(1+3x)^{2n} \) có thể viết là:

\[
x^2(1+3x)^{2n} = x^2 \sum_{m=0}^{2n} \binom{2n}{m} 3^m x^m = \sum_{m=0}^{2n} \binom{2n}{m} 3^m x^{m+2}
\]

Để tìm hệ số của \( x^5 \), ta cần \( m + 2 = 5 \), tức là \( m = 3 \). Hệ số của \( x^5 \) từ phần này là:

\[
\binom{2n}{3} \cdot 3^3 = \binom{2n}{3} \cdot 27
\]

### Tổng hợp

Hệ số của \( x^5 \) trong \( P \) sẽ là tổng của hai hệ số tìm được:

\[
\text{Hệ số của } x^5 = \binom{n}{4} \cdot 16 + \binom{2n}{3} \cdot 27
\]

Chúng ta cần giá trị \( n \) trong điều kiện nhất định để tính toán rõ hơn.