Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai vectơ \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\) bằng \( 45^\circ \), ta sử dụng công thức định nghĩa góc giữa hai vectơ:

\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}| |\mathbf{v}|}
\]

Trong trường hợp này, \(\theta = 45^\circ\) thì \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

1. **Tính tích vô hướng \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)**:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(1) + (1)(0) + (-2)(m) = 1 - 2m
\]

2. **Tính độ dài của vectơ \(\mathbf{u}\)** và \(\mathbf{v}\)**:

\[
|\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
\]

\[
|\mathbf{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2}
\]

3. **Cắm vào công thức**:

\[
\cos 45^\circ = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

4. **Giải phương trình**:

Ta có:

\[
\frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Nhân chéo:

\[
(1 - 2m) \sqrt{2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}
\]

Bình phương hai vế:

\[
(1 - 2m)^2 \cdot 2 = 6(1 + m^2)
\]

Mở rộng:

\[
2(1 - 4m + 4m^2) = 6 + 6m^2
\]

Rút gọn:

\[
2 - 8m + 8m^2 = 6 + 6m^2
\]

\[
2m^2 - 8m - 4 = 0
\]

Chia cho 2:

\[
m^2 - 4m - 2 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc hai**:

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}
\]

6. **Các giá trị của \( m \)**:

Vậy có hai nghiệm:

\[
m_1 = 2 + \sqrt{6} \quad \text{và} \quad m_2 = 2 - \sqrt{6}
\]

Tính giá trị \(\sqrt{6} \approx 2.45\):

- \( m_1 \approx 2 + 2.45 = 4.45 \)
- \( m_2 \approx 2 - 2.45 = -0.45 \)

Kết quả là:

- Giá trị \( m = 4.45 \) hoặc \( m = -0.45 \).

Làm tròn đến hàng phần trăm, giá trị \( m \) cần tìm có thể là \( 4.45 \) hoặc \( -0.45 \).