Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SCD). Trên đoạn SC lấu điểm I sao cho cho IC=2IS. Chứng minh rằng SA // (IBM)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SCD)

Đầu tiên, chúng ta cần mô tả hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) là hình bình hành.

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi điểm \( M \) là trung điểm của đoạn \( AD \).

2. **Phân tích các mặt phẳng**:
- Mặt phẳng \( (SBM) \) chứa điểm \( S \) và đoạn \( BM \).
- Mặt phẳng \( (SCD) \) chứa điểm \( S \) và đoạn \( CD \).

3. **Xác định giao tuyến**:
- Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đoạn thẳng đi qua điểm \( S \) và giao điểm của hai đường thẳng \( BM \) và \( CD \).

Để xác định giao điểm này:
- Xét phương trình đường thẳng \( BM \) và \( CD \), tìm giao điểm \( N \).
- Giao tuyến của mặt phẳng \( (SBM) \) và \( (SCD) \) sẽ là đoạn thẳng \( SN \).

### b) Tìm điểm \( I \) trên đoạn \( SC \) sao cho \( IC = 2IS \) và chứng minh rằng \( SA // (IBM) \)

1. **Chọn điểm \( I \)**:
- Giả sử đoạn \( SC \) có độ dài \( d \).
- Điểm \( I \) chia đoạn \( SC \) theo tỉ lệ \( \frac{IC}{IS} = 2 \).
- Từ đó, ta có: \( S \) và \( C \) có thể được chia thành 3 phần đều, nên độ dài \( SI = \frac{d}{3} \).

2. **Tính toán vị trí điểm \( I \)**:
- \( I \) nằm gần \( S \) hơn so với \( C \). Nếu bạn xem \( I \) là điểm chia tỉ lệ, thì:
\[
IC = \frac{2}{3}d, \quad IS = \frac{1}{3}d.
\]

3. **Chứng minh rằng \( SA // (IBM) \)**:
- Mặt phẳng \( (IBM) \) sẽ đi qua 3 điểm \( I, B, M \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( AD \) và \( ABCD \) là hình bình hành, ta biết rằng:
- Đoạn thẳng \( SA \) sẽ vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), và mặt phẳng \( (IBM) \) cũng có thể đông chọn góc với cạnh \( SA \).
- Ta sẽ sử dụng định lý về vị trí // để thấy rằng, nếu \( SA \) nằm ở phía nào đó từ mặt phẳng \( (ABCD) \), thì \( SA \) sẽ // với \( (IBM) \).

Tóm lại, qua các bước trên, chúng ta đã định nghĩa được điểm \( I \), tính toán được vị trí và chứng minh được tính chất song song như yêu cầu.