Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD // BC; AD = 2BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD

Để giải bài toán bạn đưa ra, chúng ta làm theo từng yêu cầu:

1. **Chứng minh \( BC \parallel (SAD) \)**:
- Vì \( AD \parallel BC \) và \( S \) là điểm ngoài đáy \( ABCD \), theo định nghĩa của hình chóp, các cạnh \( SB \) và \( SC \) sẽ vuông góc với mặt phẳng đáy. Như vậy, \( BC \) sẽ song song với mặt phẳng \( SAD \).

2. **Chứng minh \( MN \parallel (SAC) \)**:
- \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AD \) và \( CD \). Mặt phẳng \( SAC \) chứa đường thẳng \( SC \) và điểm \( A \). Cả hai điểm trung điểm đều nằm trong mặt phẳng và đường thẳng \( MN \) sẽ song song với \( SC \), do đó ta có \( MN \parallel (SAC) \).

3. **Cho \( K \) là điểm thuộc cạnh \( SB \) sao cho \( KB = 2KS \)**. Tìm giao điểm \( I \) của \( SA \) và \( (MNK) \)**:
- Đặt \( KS = x \), từ đề bài \( KB = 2x \). Ta có: \( SB = KS + KB = x + 2x = 3x \).
- Do đó, tỉ lệ đoạn \( SK : KB = 1 : 2 \), tức là \( K \) chia \( SB \) theo tỉ lệ \( 1:2 \).
- Giao điểm \( I \) sẽ được xác định bằng cách giải phương trình tọa độ của \( SA \) và mặt phẳng \( (MNK) \).

4. **Gọi \( G \) là trung điểm tam giác \( CDM \). Chứng minh \( KG \parallel SD \)**:
- Vì \( G \) là trung điểm của \( CD \) và \( M \) là trung điểm của \( AD \), ta có thể áp dụng định lý trung điểm để chứng minh rằng \( KG \) song song với \( SD \).

Bạn có thể tiếp tục giải từng phần cụ thể hơn dựa vào kiến thức về hình học không gian và sử dụng các định lý liên quan đến song song, vuông góc, và mặt phẳng.