Cho hình chữ nhật ABCD (AB lớn hơn BC). Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho CM = CB. Qua điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt cạnh AB tại điểm O. Vẽ đường tròn (O;OB)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng phần một.

### Phần a
Chúng ta đã có hình chữ nhật ABCD với AB > BC. Gọi các điểm có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

Điểm \( M \) nằm trên đường chéo \( AC \). Tọa độ của \( M \) sẽ được xác định bằng cách nhìn vào tỷ lệ đoạn \( CM \) và \( CB \). Ta có:
\[
CM = CB \implies CM = b
\]

Vì \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật, nên điểm \( M \) có thể có tọa độ \( M(x, x \cdot \frac{b}{a}) \) sao cho \( (x, y) \) là đúng trên đường chéo \( AC \).

Khi kẻ đường thẳng vuông góc từ \( M \) xuống \( AB \), ta có được điểm \( O \). Thay vào tọa độ để tính độ dài các đoạn như sau:
1. Tính độ dài \( OM \):
\[
OM = |y_M - 0| = y_M = x \cdot \frac{b}{a}
\]

2. Tính độ dài \( OB \):
\[
OB = y_B = b
\]

Bây giờ, sẽ chứng minh rằng \( OM = OB \):
\[
OM = OB \implies y_M = b \implies x \cdot \frac{b}{a} = b \implies x = a \implies OM = OB
\]

Từ đó, \( M \) nằm trên đường tròn với tâm \( O \) và bán kính \( OB \).

### Phần b
Để chứng minh tam giác \( AHB \) đồng dạng với tam giác \( BKC \) và tìm tỷ lệ cotang, ta đi theo các bước như sau:

1. Tìm tọa độ điểm \( O \) (khi đã biết điểm \( M \)):
Tọa độ của \( O \) sẽ là \( (x, 0) \), trong đó \( M \) đã cho tọa độ.

2. Xây dựng tam giác \( BKC \) và tìm giao điểm \( K \):
- Kẻ đường thẳng \( AH \) vuông góc với đường thẳng \( BM \) tại \( H \).
- Giao điểm của \( OC \) và \( BM \) là \( K \).

3. Chứng minh đồng dạng:
- Sử dụng tính chất tam giác vuông và tương ứng các góc.
- Tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng từ định lý Sin hoặc Cos sẽ cho ta kết quả đồng dạng.

4. Tính cotang:
\[
cot^2(BCA) = \frac{MB^2}{4MH \cdot BH}
\]
- Sử dụng đái lượng đáy và chiều cao giữa các tam giác để so sánh.

Do không có thêm thông tin cụ thể hơn từ đề bài chi tiết và các tính chất hình học cụ thể, tôi chỉ đưa ra phương pháp chung để nghiên cứu và chứng minh.

Nếu bạn cần thêm chi tiết hơn về từng bước, hãy cho tôi biết!