Để giải bài toán này, hãy thực hiện từng phần một cách hệ thống.

**a) Chứng minh: tứ giác ABCK là hình bình hành.**

1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, BC.
2. Vì N là trung điểm của BK nên \( BN = NK \).
3. Từ M là trung điểm của AB, ta có \( AM = MB \).
4. Tứ giác ABCK có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:
- \( AB \parallel CK \) và \( AB = CK \) (vì A và C đối xứng qua N),
- \( AC \parallel BK \) và \( AC = BK \) (vì B và K đối xứng qua N).
5. Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành.

**b) Chứng minh: AP vuông góc BC và tứ giác AMPN là hình thoi.**

1. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên đường cao từ A xuống BC cũng là trung tuyến và phân giác.
2. Do đó, AP vuông góc với BC.
3. Cũng từ góc vuông này, ta có \( AP = AM = AN \) (vì M và N là trung điểm).
4. Tứ giác AMPN có các cạnh AM = AP, AN = MP và góc AMN = góc APN (do tất cả các góc đều là góc vuông).
5. Do đó tứ giác AMPN là hình thoi.

**c) Chứng minh: BH ⊥ AK.**

1. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng PM và AK.
2. Vì PM là trung tuyến, mà M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC nên AP triển khai ra trung điểm B và C.
3. Ta đã có AP vuông góc với BC.
4. Theo tính chất giao điểm của hai đường thẳng trong tứ giác AMPN và đã chứng minh AMPN là hình thoi, nên hai bên AM và AP cũng vuông góc với BC.
5. Do đó, bằng tính chất vuông góc và các hình đối xứng, tứ giác ABCK có mặt AB vuông góc với BK, và BH cũng vuông góc với AK.

**Vẽ hình:**
Để vẽ hình, bạn hãy làm theo các bước sau:

- Vẽ tam giác ABC cân tại A.
- Đánh dấu các trung điểm M, N, P như đã nêu.
- Vẽ tia BN và đánh dấu điểm K sao cho N là trung điểm của BK.
- Đánh dấu các điểm và đường thẳng AM, AK để thể hiện mối quan hệ vừa chứng minh.

Sử dụng kiến thức hình học cơ bản, bạn có thể hoàn thành hình minh họa cho các phần đã chứng minh trên.