Để giải phương trình

\[
\frac{x+1}{2x-2} - \frac{x-1}{2x+2} = \frac{2}{x^2-1},
\]

ta thực hiện các bước như sau:

1. **Rút gọn phương trình**:
Đầu tiên, chúng ta có thể rút gọn các mẫu:

\( 2x - 2 = 2(x - 1) \) và \( 2x + 2 = 2(x + 1) \).
\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).

2. **Tìm mẫu chung**:
Mẫu chung cho phía trái là \( (2(x - 1))(2(x + 1)) = 4(x - 1)(x + 1) \).

3. **Biến đổi phương trình**:
Nhân tất cả các phần của phương trình với mẫu chung:

\[
4(x + 1)(2x + 2) - 4(x - 1)(2x - 2) = 8.
\]

4. **Giải phương trình**:
Tiến hành khai triển và giải:

- Tính các phần tử:

\[
4(x + 1)(2(x + 1)) = 8(x + 1)^2,
\]
\[
4(x - 1)(2(x - 1)) = 8(x - 1)^2.
\]

- Phương trình trở thành:

\[
8(x + 1)^2 - 8(x - 1)^2 = 8.
\]

5. **Rút gọn**:
Chia cả hai bên cho 8:

\[
(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 1.
\]

Sử dụng công thức hiệu hai bình phương:

\[
(x + 1 + x - 1)(x + 1 - (x - 1)) = 1.
\]

Suy ra:

\[
2x \cdot 2 = 1 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}.
\]

6. **Kiểm tra**:
Thay \( x = \frac{1}{4} \) vào phương trình ban đầu để kiểm tra.

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{4} \).