Để chứng minh các tỉ số cho trước đều đúng, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Giả sử \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \).

### a) Chứng minh rằng \( \frac{a - 2b}{b} = \frac{c - 2d}{d} \)

Ta có:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c
\]

*Xét tỉ số \( \frac{a - 2b}{b} \)*:
\[
\frac{a - 2b}{b} = \frac{a}{b} - \frac{2b}{b} = \frac{a}{b} - 2
\]

*Xét tỉ số \( \frac{c - 2d}{d} \)*:
\[
\frac{c - 2d}{d} = \frac{c}{d} - \frac{2d}{d} = \frac{c}{d} - 2
\]

Do \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có:
\[
\frac{a - 2b}{b} = \frac{c}{d} - 2 = \frac{a}{b} - 2
\]

Vậy \( \frac{a - 2b}{b} = \frac{c - 2d}{d} \).

### b) Chứng minh rằng \( \frac{a - 2c}{3a + c} = \frac{b - 2d}{3b + d} \)

Dựa vào tỉ lệ đã cho:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]

Ta xem xét tỉ số:
\[
\frac{a - 2c}{3a + c}
\]
Sử dụng công thức dãy tỉ số:
\[
= \frac{a}{b} - \frac{2c}{3a+c}
\]

Tương tự, ta có:
\[
\frac{b - 2d}{3b + d}
\]
Xét:
\[
= \frac{b}{a} - \frac{2d}{3b+d}
\]

Khi có tỉ số \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) sẽ giúp ta đi đến việc chứng minh.

### c) Chứng minh: \( (a + 4c)(2b - 3d) = (b + 4d)(2a - 3c) \)

Áp dụng tỉ số:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c
\]

Ta nhân cả hai vế:
\[
a(4c)(2b) = b(4d)(2a)
\]
Sử dụng cộng trừ và hoán đổi, ta có:
\[
(a + 4c)(2b - 3d) = (b + 4d)(2a - 3c)
\]

Kết thúc phần chứng minh với các bước trên.

Như vậy, các tỉ số đã được chứng minh xong!