Cho a và b là 2 số nguyên khác 0, biết a chia hết cho b và b chia hết cho a. Chứng tỏ rằng a = -b hoặc a=b

Để chứng minh rằng nếu \(a\) và \(b\) là hai số nguyên khác 0, biết rằng \(a\) chia hết cho \(b\) và \(b\) chia hết cho \(a\), thì ta có \(a = -b\) hoặc \(a = b\), ta làm như sau:

Giả sử \(a\) chia hết cho \(b\) có nghĩa là tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho:

\[
a = k \cdot b
\]

Tương tự, vì \(b\) chia hết cho \(a\) nên tồn tại một số nguyên \(m\) sao cho:

\[
b = m \cdot a
\]

Thay \(b\) từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên ta có:

\[
a = k \cdot (m \cdot a)
\]

Nếu \(a \neq 0\) (điều này đúng vì \(a\) khác 0), ta có thể chia cả hai bên cho \(a\):

\[
1 = k \cdot m
\]

Bây giờ, \(k\) và \(m\) là các số nguyên. Phương trình \(1 = k \cdot m\) chỉ có hai khả năng sau:

1. \(k = 1\) và \(m = 1\)
2. \(k = -1\) và \(m = -1\)

- **Trường hợp 1:** Nếu \(k = 1\) và \(m = 1\), ta có:

\[
a = 1 \cdot b \implies a = b
\]

- **Trường hợp 2:** Nếu \(k = -1\) và \(m = -1\), ta có:

\[
a = -1 \cdot b \implies a = -b
\]

Vậy từ các trường hợp trên, chúng ta kết luận rằng:

\[
a = b \quad \text{hoặc} \quad a = -b
\]

Do đó, nếu \(a\) và \(b\) là các số nguyên khác 0, biết rằng \(a\) chia hết cho \(b\) và \(b\) chia hết cho \(a\), thì có thể chắc chắn rằng \(a = -b\) hoặc \(a = b\).

Kết thúc chứng minh.