Cho tam ABC có AB=AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a) chứng minh tam giác ABM=tam giác ACM

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM

Ta đã có dữ kiện \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Ta sẽ chứng minh hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \:

- \( AB = AC \) (dựa theo giả thiết)
- \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \))
- \( AM \) là chung cạnh (cạnh chung) của hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \)

Do đó, theo điều kiện đồng dạng (Cạnh-Cạnh-Cạnh), ta có:

\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]

### b) Chứng minh tia AM là tia phân giác của góc BAC và AM vuông góc với BC

Từ hai tam giác đã chứng minh trên, ta có:

- \( \angle ABM = \angle ACM \) (do hai tam giác đồng dạng)
- Cộng thêm \( \angle BAM \) và \( \angle CAM \), mà \( AM \) là một cạnh chung, và 2 góc đó sẽ bang nhau bởi tính chất của M là trung điểm.

Vì vậy, ta có:

\[
\angle BAM + \angle CAM = \angle BAC
\]

Khi đó, ta cũng thấy rằng \( AM \) chia đôi góc \( BAC \), tức là \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

### c) Tính số đo các góc của tam giác BAC biết \( \angle BAM = 25^\circ \)

Chúng ta có:

- Vì \( AM \) là tia phân giác, khi đó \( \angle BAM = \angle CAM = 25^\circ \)
- Vậy góc \( BAC \) sẽ là:

\[
\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ
\]

Bây giờ, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác:

- Tổng các góc trong tam giác \( ABC \) là \( 180^\circ \), nên:

\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
\]
\[
\angle ABC + \angle ACB + 50^\circ = 180^\circ
\]
\[
\angle ABC + \angle ACB = 130^\circ
\]

Vì \( AB = AC \), suy ra \( \angle ABC = \angle ACB \). Gọi góc \( ABC = \angle ACB = x \).

Ta có:

\[
2x = 130^\circ \implies x = 65^\circ
\]

Vậy:

\[
\angle ABC = 65^\circ, \quad \angle ACB = 65^\circ, \quad \angle BAC = 50^\circ
\]

### d) Chứng minh AC = BE = CE

Cho đường thẳng qua \( B \) và song song với \( AC \) cắt tia \( AM \) tại \( E \). Từ tính chất của các đường thẳng song song, ta sẽ có:

- Do \( BE \parallel AC \) và vì \( AM \) là tia phân giác của góc \( BAC \):

Do đó, ta có:

\[
\angle ABM = \angle AEC \quad \text{(góc đồng vị)}
\]
\[
\angle ACM = \angle EBC \quad \text{(góc đồng vị)}
\]

Từ đó, theo định lý góc đồng vị, ta suy ra các tam giác \( ABE \) và \( AEC \) có các góc tương ứng bằng nhau:

- \( AB = AC \) (đã biết từ đầu)
- \( \angle ABE = \angle AEC \)
- \( \angle BAE = \angle CAE \)

Từ các yếu tố trên, suy ra \( AC = BE = CE \).

Như vậy, ta đã chứng minh thành công.