Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, AM là phân giác góc BAC, kẻ MH vuông góc AB (H thuộc AB), MK vuông góc AC (K thuộc AC)

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tam giác \( ABC \) với các điểm \( M, H, K \) như đã mô tả, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một:

### Phần a: Chứng minh rằng \( MK = MH \)

Trong tam giác \( ABC \):
- \( M \) là trung điểm của \( BC \)
- \( AM \) là phân giác của góc \( BAC \)

Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CM}
\]

Do \( M \) là trung điểm nên \( BM = CM \). Do đó, ta có:

\[
AB = AC
\]

Khi \( AB = AC \), tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( \angle ABC = \angle ACB \).

Bây giờ, theo tính chất của hình vuông và các cạnh vuông góc trong hình tam giác đều, ta có thể khẳng định rằng:

- \( MH \) là chiều cao từ \( M \) xuống cạnh \( AB \)
- \( MK \) là chiều cao từ \( M \) xuống cạnh \( AC \)

Vì \( A \) nằm trên tổ hợp tam giác cân và cả hai đoạn vuông MH và MK có khuôn hình giống nhau, ta khẳng định rằng:

\[
MK = MH
\]

### Phần b: Chứng minh \( \angle B = \angle C \)

Từ phần (a), chúng ta đã chứng minh rằng \( AB = AC \). Trong tam giác, nếu hai cạnh (đoạn thẳng) bằng nhau thì hai góc đối diện với chúng cũng phải bằng nhau. Do đó:

\[
\angle ABC = \angle ACB
\]

Hay \( B = C \).

### Phần c: Chứng minh \( HK \parallel BC \)

Xét tam giác \( AMH \) và tam giác \( AMK \):
- \( MH \perp AB \)
- \( MK \perp AC \)

Vì \( \angle B = \angle C \), và \( M \) là điểm chung của hai tam giác nên ta sẽ có hai tam giác \( AMH \) và \( AMK \) đều có chung một đường cao là \( AM \).

Vô hình sinh ra từ tính chất của tứ giác:

Khi \( MH \) và \( MK \) vuông góc với hai cạnh \( AB \) và \( AC \), và \( AM \) là phân giác thì \( HK \) sẽ là một đường thẳng đi qua \( H \) và \( K \), và nó sẽ song song với \( BC \) dựa trên tính chất đồng dạng của các tam giác và các góc.

Do đó, ta có \( HK \parallel BC \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng \( MK = MH \), \( \angle B = \angle C \), và \( HK \parallel BC \).