Cho tam giác ABC vuông tại A kẻ đường cao AH, gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC

a. Để chứng minh tứ giác AHDE là hình chữ nhật và rằng \( BD \cdot AC = AE \cdot AB \), ta sẽ xem xét từng phần một.

1. **Chứng minh tứ giác AHDE là hình chữ nhật:**

- Tứ giác AHDE là hình chữ nhật nếu nó có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Từ tam giác vuông ABC, ta thấy rằng AH là đường cao, do đó góc AHA là góc vuông, tức là \( \angle AHD = 90^\circ \) và \( \angle AHE = 90^\circ \).
- Bởi vì \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( AC \) thì \( HD \perp AB \) và \( HE \perp AC \), vì vậy \( HDE \) cũng là góc vuông.
- Do đó, \( AH \perp DE \).

- Ta có \( AD = AH \) và \( AE = AH \) (vì \( D, E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB, AC\), lần lượt), do đó \( AD = AE \).

- Như vậy, tứ giác \( AHDE \) là hình chữ nhật bởi vì mọi điều kiện đã được thỏa thuận.

2. **Chứng minh sản phẩm BD.AC = AE.AB:**

- Theo tính chất hình chữ nhật, ta biết rằng \( AHDE \) có \( DE \parallel AH \) và chiều dài của các cạnh bằng nhau.

- Xét tỉ số:

\[
\frac{BD}{AB} = \frac{AH}{AC} \quad và \quad \frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AB}
\]

- Nhân cả hai vế cho \( AC \):

\[
BD \cdot AC = AE \cdot AB
\]

Vì vậy, chúng ta đã hoàn thành chứng minh.

b. **Chứng minh rằng \( DI \parallel EK \):**

- Dựa vào định nghĩa các điểm trung điểm:

- I là trung điểm của BH, tức là \[ BI = IH \]
- K là trung điểm của CH, tức là \[ CK = KH \]

- Ta cần chứng minh rằng \( DI \) và \( EK \) song song.

- Xét hai tam giác \( BDI \) và \( CEK \):

- Dùng định lý về tỷ lệ của đoạn thẳng từ góc vuông trong tam giác vuông, ta có:

\[
\frac{DI}{EH} = \frac{BI}{CH} = \frac{IH}{K}
\]

- Với các tỷ lệ này, do đó kèm theo với đồng dạng của các tam giác vuông \( BIH\) và \( CEK \).

Do các đoạn thẳng BD và CE đều thẳng và tiệm cận theo tỉ lệ đó, ta suy ra rằng \( DI \parallel EK \).

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả hai phần của đề bài.