Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những bất đẳng thức quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Bất đẳng thức này thường được phát biểu như sau:

Giả sử \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) và \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) là hai dãy số thực. Khi đó, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng:

\[
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)
\]

**Chứng minh Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**

Một trong những cách phổ biến để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Cụ thể, ta định nghĩa một hàm số như sau:

\[
f(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i t + b_i)^2
\]

Hàm số \(f(t)\) này là một hàm bậc 2 theo \(t\) và có dạng:

\[
f(t) = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) t^2 + 2 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right) t + \sum_{i=1}^{n} b_i^2
\]

Hàm này là một đa thức bậc 2, do đó có thể nhận dạng dựa trên hệ số của \(t^2\).

Để hàm này không âm với mọi \(t\), định nghĩa hệ số của \(t^2\) phải dương hoặc bằng 0. Điều này cho thấy:

\[
\Delta \leq 0
\]

với:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Trong trường hợp này, \(a = \sum_{i=1}^{n} a_i^2\), \(b = 2 \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\), và \(c = \sum_{i=1}^{n} b_i^2\). Khi đó,

\[
\Delta = \left( 2 \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 - 4 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)
\]

Ta cần chứng minh rằng:

\[
\Delta \leq 0 \Rightarrow \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)
\]

Như vậy, từ định nghĩa của hàm và phân tích trên, ta có thể kết luận rằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chứng tỏ là đúng.

Hy vọng rằng cách chứng minh này giúp ích cho bạn trong việc hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz!