Để chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn O với đường kính BC, ta cần áp dụng một số kiến thức về hình học.

### Giả thuyết:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn.
- \( R \) là bán kính của đường tròn.
- \( B \) là điểm trên đường tròn.
- \( D \) là điểm đối diện với \( B \) trên đường tròn, sao cho \( BD = 2R \).
- \( A \) là điểm trên tiếp tuyến tại B sao cho \( AB = R \).
- \( C \) là điểm trên đường tròn mà AC là tiếp tuyến.

### Chứng minh:
1. **Tính chất tiếp tuyến**:
- Theo định lý về tiếp tuyến, đường tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó. Vậy \( AB \perp OB \).

2. **Tam giác OBC**:
- Trong tam giác \( OBC \), \( OB = R \) (bán kính) và \( OC = R \) (bán kính).
- \( BC \) là cạnh đối diện với góc tại O.

3. **Tiếp tuyến AC**:
- Do \( AC \) là tiếp tuyến tại \( C \), nên \( AC \perp OC \).

4. **Góc và tính chất hình học**:
- Trong tam giác \( OBC \), theo quy tắc hình học, ta có \( \angle OBC + \angle ACB = 90^\circ \) (vì \( AC \perp OC \)).
- Nếu kẻ tiếp tuyến CD tại điểm D, ta thấy \( CD \perp OC \).

5. **Kết luận**:
- Vì CD vuông góc với bán kính \( OC \) tại C và AC vuông góc với OB, nên CD cũng là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC.

Điều này chứng tỏ rằng \( CD \) là tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm B và C, hoàn thành bài toán.