Để tính diện tích hình vành khăn giữa hai đường tròn theo bài toán cho trước, ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính chiều dài đoạn \( BC \)

Tam giác \( ABC \) là tam giác cân với \( AB = AC = 4 \, cm \) và \(\hat{A} = 120^\circ\). Ta có thể sử dụng định lý cos để tính chiều dài \( BC \):

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\hat{A})
\]
\[
BC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)
\]
\[
= 16 + 16 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-0.5)
\]
\[
= 32 + 16 = 48
\]
\[
BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, cm
\]

### Bước 2: Tính diện tích hình tròn \( A \)

Diện tích đường tròn có bán kính \( AB = 4 \, cm \):

\[
S_A = \pi \cdot r_A^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \, cm^2
\]

### Bước 3: Tính bán kính đường tròn \( O \)

Để tính diện tích hình vành khăn, cần tính diện tích đường tròn từ trung điểm là \( O \). Đường tròn này có bán kính bằng \( \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, cm \).

### Bước 4: Tính diện tích hình tròn \( O \)

Diện tích đường tròn này là:

\[
S_O = \pi \cdot r_O^2 = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 12 = 12\pi \, cm^2
\]

### Bước 5: Tính diện tích hình vành khăn

Diện tích hình vành khăn là hiệu số giữa diện tích của hai đường tròn:

\[
S_{khăn} = S_A - S_O = 16\pi - 12\pi = 4\pi \, cm^2
\]

### Bước 6: Lấy kết quả và làm tròn

Thay giá trị \(\pi \approx 3.14\):

\[
4\pi \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 \, cm^2
\]

Làm tròn đến hằng phần mười, ta có:

\[
\boxed{12.6 \, cm^2}
\]