Để xác định điều kiện xác định của biểu thức \( A \), ta cần xem xét các mẫu số trong biểu thức và đảm bảo rằng chúng không bằng 0.

### Bước 1: Xác định các mẫu số
1. Mẫu số của phần đầu tiên: \( x^2 - 36 \)
2. Mẫu số của phần thứ hai: \( 6x + x^2 \)
3. Mẫu số của phần ba: \( x^2 + 6x \)
4. Mẫu số của phần bốn: \( 6 - x \)

### Bước 2: Tìm điều kiện
- Đối với \( x^2 - 36 \):
\( x^2 - 36 \neq 0 \)
\( x \neq 6 \) và \( x \neq -6 \)

- Đối với \( 6x + x^2 \):
\( x^2 + 6x \neq 0 \)
\( x(x + 6) \neq 0 \)
\( x \neq 0 \) và \( x \neq -6 \)

- Đối với \( 6 - x \):
\( 6 - x \neq 0 \)
\( x \neq 6 \)

### Tổng hợp điều kiện
Từ các điều kiện trên, ta có:
\[
x \neq 6, \quad x \neq -6, \quad x \neq 0
\]
=> Điều kiện xác định của biểu thức \( A \) là:
\[
x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 6, -6\}
\]

### Bước 3: Rút gọn biểu thức
Biểu thức \( A \) là:
\[
A = \left( \frac{x}{x^2 - 36} + \frac{6 - x}{6x + x^2} \right) \cdot \frac{2x - 6}{x^2 + 6x} \cdot \frac{x}{6 - x}
\]

Rút gọn từng phần:

1. **Rút gọn phần đầu tiên:**
\[
x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)
\]
\[
6x + x^2 = x^2 + 6x = x(x + 6)
\]

Vậy:
\[
\frac{x}{(x - 6)(x + 6)} + \frac{6 - x}{x(x + 6)}
\]

Đưa về mẫu chung \( (x - 6)(x + 6)x \):
\[
\frac{x^2 + (6 - x)(x - 6)}{(x - 6)(x + 6)x}
\]

Tính phần tử tử:
\[
x^2 + (6 - x)(x - 6) = x^2 + (6x - 36 - x^2 + 6x) = 12x - 36
\]

Vậy:
\[
\frac{12x - 36}{(x - 6)(x + 6)x} = \frac{12(x - 3)}{(x - 6)(x + 6)x}
\]

2. **Rút gọn phần còn lại:**
\[
\frac{2x - 6}{x^2 + 6x} = \frac{2(x - 3)}{x(x + 6)}
\]

Sau đó, ta kết hợp:
\[
A = \frac{12(x - 3)}{(x - 6)(x + 6)x} \cdot \frac{2(x - 3)}{x(x + 6)} \cdot \frac{x}{6 - x}
\]

Rút gọn liên tục:
\[
A = \frac{24(x - 3)^2}{(x - 6)(x + 6)x^2(6 - x)}
\]

### Kết luận
- **Điều kiện xác định của biểu thức \( A \):**
\[
x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 6, -6\}
\]
- **Biểu thức sau khi rút gọn:**
\[
A = \frac{24(x - 3)^2}{(x - 6)(x + 6)x^2(6 - x)}
\]