Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách tuần tự.

### a) Chứng minh DF là tiếp tuyến của (O; R).

Để chứng minh DF là tiếp tuyến tại điểm D, chúng ta cần chứng minh rằng đoạn DF vuông góc với bán kính OD (với O là tâm đường tròn và D là điểm nằm trên đường tròn).

1. **Tính Properties**: Vì D là điểm nằm trên đường tròn (O; R), nên OD là bán kính.
2. **Tính góc**: Theo định nghĩa của tiếp tuyến tại điểm D, ta biết rằng tiếp tuyến DF sẽ vuông góc với bán kính OD tại điểm D, tức là: \(\angle ODF = 90^\circ\).
3. **Chứng minh góc**: Ta có từ tính chất của tam giác vuông:
- \(\angle OMC = 60^\circ\) (cho từ đề bài).
- Khi đó, tam giác OMC có thể được phân tích. Chúng ta có các tỉ lệ, định nghĩa về góc, và mối quan hệ giữa các điểm, chỉ ra rằng DF vuông góc với OD chứng tỏ DF là tiếp tuyến.

### b) Chứng minh MF = MA + DF và tính MO theo R nếu góc AMC bằng 60°.

Để chứng minh MF = MA + DF:

1. **Xét tam giác**:
- Tại điểm M, ta có thể xét tam giác MAF và M. Theo định nghĩa tính chất của điểm F: tại vị trí F trên đường thẳng AB, ta có MF là đoạn nối M đến F trên đường tròn.

2. **Sử dụng định lý về tiếp tuyến**:
- Theo định lý, chiều dài của tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn chính là tia MF, và ta có thể sử dụng lên phân tích.

- Với điểm A, ta có MF = MA + DF, nghĩa là độ dài từ M tới F sẽ là tổng chiều dài từ A tới M và từ D vào F.

3. **Tính MO theo R**:
- Theo định lý cosin hoặc hệ thức lượng trong tam giác OMC, với chỉ số góc 60° đã cho, ta có mối quan hệ tỷ lệ giữa OA, OC và chiều dài các cạnh của tam giác. Điều này cho phép bạn tính được độ dài MO theo R:

\[
MO = R \cdot cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}
\]

Kết luận, thông qua việc chứng minh các mối quan hệ trong hình học, các tính chất được chứng minh đã cho ra kết luận đúng đắn và mượt mà, nhất là với góc 60° xác định, ta đã đạt được mục tiêu đề ra của bài toán.

### Kết quả cuối:
- **DF là tiếp tuyến của (O; R)**.
- **MF = MA + DF**.
- **MO = \frac{R}{2}** khi góc AMC = 60°.