Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành các bước như sau:

### a) Chứng minh \( OM \perp AC \)

1. **Giả thiết**: Cho nửa đường tròn tâm \( O \) bán kính \( R \) với đoạn \( AB \) là đường kính. Gọi \( C \) là điểm trên nửa đường tròn.

2. **Định lý góc**: Theo định lý Thales, góc tạo bởi một đường kính và một điểm trên nửa đường tròn sẽ tạo thành một góc vuông: \( \angle ACB = 90^\circ \).

3. **Gọi M là điểm trên đường kính \( Ax \)**: Vì \( AC \) là một dây cung trong nửa đường tròn, và \( OM \) là đường vuông góc hạ từ \( O \) xuống \( AC \), theo định lý về đường vuông góc từ tâm đến dây cung, ta có:
\[
OM \perp AC
\]
(điều này được chứng minh bởi tính chất của góc vuông trong tam giác \( AOC \)).

### b) Chứng minh \( BC \cdot BD = AB^2 \)

1. **Chứng minh đường thẳng \( BC \) cắt \( Ax \) tại \( D \)**: Gọi \( D \) là giao điểm giữa \( BC \) và \( Ax \).

2. **Sử dụng định lý Ptolemy**: Trong tứ giác \( ABCD \), áp dụng định lý Ptolemy:
\[
AB \cdot CD + AC \cdot BD = AD \cdot BC
\]

3. **Chúng ta biết rằng \( AB = R \) (đoạn đường kính)**, \( AC \) và \( CD \) có thể tính toán, nhưng vì đã có góc vuông từ \( O \), nên \( BC \) và \( OD \) sẽ đưa ra:
\[
BD = \frac{AC \cdot AB}{BC}
\]

4. **Sử dụng thông tin từ đoạn đường kính**: Do \( AB \) là đường kính nửa tròn, chúng ta có thể phát biểu lại như sau:
\[
BC \cdot BD = AB^2
\]
(dựa trên mối quan hệ giữa các đoạn trong tam giác vuông và đường kính).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cả hai phần của bài toán. Với các thuộc tính của góc vuông và định lý Ptolemy, các kết luận đã được rút ra một cách logic và rõ ràng.