Trong tam giác ABC vuông tại A, với AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm. Chúng ta có thể dùng định lý phân giác để tính độ dài đoạn AD và DC.

Theo định lý phân giác, trong tam giác có một góc được chia bởi đường phân giác, tỉ lệ độ dài các đoạn cạnh đối diện với các góc được chia bởi đường phân giác sẽ bằng với tỉ lệ độ dài của hai cạnh kề:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DC}
\]

Chúng ta có:

- \( AB = 3 \) cm
- \( AC = 4 \) cm

Do đó tỉ số là:

\[
\frac{3}{4} = \frac{AD}{DC}
\]

Gọi \( AD = x \) và \( DC = y \). Ta cũng biết rằng:

\[
AD + DC = AC \Rightarrow x + y = 4 \quad (1)
\]

Từ tỉ số trên, ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{3}{4} \Rightarrow 4x = 3y \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ phương trình (2), ta suy ra:

\[
y = \frac{4}{3}x
\]

Thay vào phương trình (1):

\[
x + \frac{4}{3}x = 4
\]

\[
\frac{7}{3}x = 4
\]

\[
x = \frac{4 \cdot 3}{7} = \frac{12}{7} \text{ cm}
\]

Vậy:

\[
AD = x = \frac{12}{7} \text{ cm}
\]

Tiếp theo, tính \( DC \):

\[
DC = 4 - AD = 4 - \frac{12}{7} = \frac{28}{7} - \frac{12}{7} = \frac{16}{7} \text{ cm}
\]

Tóm lại:

- **Đoạn thẳng AD**: \( \frac{12}{7} \) cm
- **Đoạn thẳng DC**: \( \frac{16}{7} \) cm