Để chứng minh các phần a và b của bài toán, ta sẽ tiến hành qua các bước logic với các định lý hình học căn bản.

### Phần a: Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( H \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến \( BC \) và \( D \) là điểm trên tia \( AM \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( AD \).

2. **Tính chất của tứ giác**:
- Tứ giác \( ABCD \) có các cạnh \( AB \), \( BC \), \( CD \), và \( DA \).
- Đường \( AH \) vuông góc với \( BC \) (bởi \( H \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( A \) đến \( BC \)).
- \( HM \) vuông góc với \( AM \) vì \( M \) là trung điểm.

3. **Chứng minh các góc**:
- Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle BHC = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle AHD = \angle AHM = 90^\circ \).
- Từ điều này, tứ giác \( ABCD \) tạo thành với 4 góc vuông, suy ra \( ABCD \) là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh \( EF \) vuông góc với \( AM \).

1. **Xác định đoạn thẳng \( EF \)**:
- \( E \) là chân đường vuông góc từ \( H \) đến \( AB \) và \( F \) là chân đường vuông góc từ \( H \) đến \( AC \).

2. **Chứng minh đường thẳng vuông góc**:
- Ta có \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \).
- Từ hình tam giác vuông \( AHC \), \( H \) là điểm trên \( AM \), có nghĩa là \( AM \) chia tam giác \( AHC \) thành hai phần góc vuông.
- Sự thiết lập này chứng tỏ rằng \( EF \) cũng vuông góc với \( AM \) do tính chất của các đường vuông góc trong tam giác.

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật và \( EF \) vuông góc với \( AM \) theo các tính chất đã nêu.