Để giải bài này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác MDAE là hình chữ nhật.

**Chứng minh:**
1. M là trung điểm của BC, do đó, MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC.
2. Theo định nghĩa tứ giác, tứ giác MDAE sẽ là hình chữ nhật nếu tất cả các góc của nó đều vuông.
3. Ta có:
- Góc MDA = 90 độ (do MD vuông góc với AB).
- Góc MAE = 90 độ (do ME vuông góc với AC).
4. Hơn nữa, vì M là trung điểm của BC, và MD, ME đều vuông góc với các cạnh chứa A.
5. Do đó, ta có 4 góc hình chữ nhật: MDA, MAE, DEA, và ADM đều bằng 90 độ.

Vì vậy, tứ giác MDAE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh AKDE là hình bình hành.

**Chứng minh:**
1. Đặt K là điểm trên tia đối của tia DM sao cho DM = DK.
2. Ta có:
- MD = DK (do giả thiết).
3. Bởi vì MD và DK đều là các đoạn thẳng vuông góc với AB và AC tại D và E, nên:
- Hình chiếu của D và E lên đường thẳng AB và AC lần lượt là D và E, đồng thời AE và DK đều là đoạn vuông góc với BE (một đường chéo trong AKDE).
4. Đồng thời, ta có:
- AD = KE (do D và K đều cách đều M và được kéo dài theo cùng một hướng).
5. Do đó, chúng ta có AK = DE và AD = KE.

Vì vậy, AKDE là hình bình hành.

### c) Chứng minh AKBM là hình thoi.

**Chứng minh:**
1. Dựa vào các cấu trúc chúng ta đã thiết lập:
- Tứ giác AKDE là hình bình hành, với các đối diện bằng nhau.
2. Do MD = DK và M là trung điểm của BC, nên AM = MB.
3. Do đó, chúng ta biết rằng AK = MB và AM = DK.
4. Ta đã chứng minh rằng AKDE là hình bình hành và có tất cả các đoạn cạnh AB, AC bằng nhau và vuông góc với nhau, do đó, nghĩa là:
- AK = AM = BK = BM (các đoạn cạnh bằng nhau tại các điểm A, B, M, K).
5. Điều đó chứng minh được rằng hình AKBM có bốn cạnh bằng nhau.

Vì vậy, AKBM là hình thoi.

### Vẽ hình
Để vẽ hình, bạn sẽ cần đặt tam giác ABC sao cho A ở góc vuông, B và C nằm trên hai trục tọa độ hệ trục Oxy, với AB < AC. Từ điểm M (trung điểm của BC), kẻ đường vuông góc MD và ME sẽ cắt các cạnh AB và AC tại D và E. Sau đó, đánh dấu điểm K sao cho DM = DK và vẽ các cạnh AB, AC và các đoạn thẳng AK, AM, BK và BM từ đó.

Nếu có nhu cầu cụ thể hơn về cách vẽ hình, bạn có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ thị hoặc vẽ tay theo các yếu tố đã mô tả ở trên.