### Bài 4

**Giả thiết:** Cho ∆ABC vuông tại A, với đường cao AH. Từ H, kẻ HD vuông góc với AB tại D và HK vuông góc với AC tại K.

**a) Chứng minh tứ giác ADHK là hình chữ nhật.**

Để chứng minh tứ giác ADHK là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng các cạnh AD và HK vuông góc với nhau cũng như AD = HK.

1. **Chứng minh AD ⊥ HK:**
- Theo giả thiết, AH ⊥ BC. Do đó, đường cao AH vuông góc với hai cạnh AB và AC.
- Dựa vào tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- HD vuông góc với AB ⇒ AD vuông góc với AB.
- HK vuông góc với AC ⇒ HK vuông góc với AC.
- Suy ra: AD ⊥ HK.

2. **Chứng minh AD = HK:**
- Theo định nghĩa về độ dài đường cao trong tam giác vuông, ta có AH = AH (cùng một đoạn đường).
- AD là đoạn cao từ H xuống AB và HK là đoạn cao từ H xuống AC. Mà AH là đường cao chung của ∆ABC tại H. Do đó, khi kẻ HD và HK vuông góc, ta có được AD = HK.

Từ hai kết luận trên, ta thấy rằng tứ giác ADHK có hai cặp cạnh đối diện vuông góc và bằng nhau. Vậy, tứ giác ADHK là hình chữ nhật.

---

**b) Điểm E đối xứng với H qua D. Chứng minh: Tứ giác AKDE là hình bình hành.**

1. **Chứng minh AK || DE và AK = DE:**
- Theo định nghĩa điểm đối xứng, điểm E nằm trên đường thẳng DE, với H là điểm trung điểm của đoạn DE.
- Từ điểm D kéo một đường thẳng song song với AK, vì E là đối xứng với H qua D, nên những đoạn AC và DE sẽ song song (cùng chiều).
- Vậy AK || DE.

2. **Chứng minh AD = KE:**
- Theo tính chất đường cao, đoạn AD được xây dựng từ điểm A đến điểm D, trong khi KE là đoạn từ K đến E.
- Vì H là trung điểm của DE, do đó KE = AD.

Kết hợp cả hai, ta có AK || DE và AK = DE nên tứ giác AKDE là hình bình hành.

---

**c) Trên tia đối của tia KH, lấy điểm F sao cho KH = KF. Chứng minh: A là trung điểm của EF.**

1. **Chứng minh AH = HF:**
- Theo giả thiết, KH = KF. Khi H di chuyển một khoảng bằng KH đến F, ta có HF = HK và do đó AH = HF.

2. **Thiết lập mối quan hệ vị trí:**
- H là một điểm thuộc đường cao từ A, và điểm F được xác định nằm trên tia đối của KH.
- Do đó, ta có A nằm giữa EF, với HA = AH = HF.

Vậy A chính là trung điểm của đoạn EF.

---

### Hình minh họa:
(Dưới đây là hình minh họa cho các tam giác và tứ giác đã định nghĩa trong bài.)

```plaintext
B
/|
/ |
/ |
A---H---D
| /
| /
|/
K
\
\
F
```

- H là chân đường cao, D là giao điểm của đường cao với AB.
- K và F được xác định cụ thể như hướng dẫn trên.