Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức đã cho, ta sẽ sử dụng kiến thức về các hàm bậc hai.

### a) \( A = x^2 - 4x + 6 \)

1. Đưa về dạng chuẩn:
\[
A = (x - 2)^2 + 2
\]
2. GTNN xảy ra tại \( x = 2 \), giá trị nhỏ nhất là:
\[
A_{min} = 2
\]

### b) \( B = 3x^2 + 12x + 7 \)

1. Đưa về dạng chuẩn:
\[
B = 3(x^2 + 4x) + 7 = 3((x + 2)^2 - 4) + 7 = 3(x + 2)^2 - 12 + 7 = 3(x + 2)^2 - 5
\]
2. GTNN xảy ra tại \( x = -2 \), giá trị nhỏ nhất là:
\[
B_{min} = -5
\]

### c) \( C = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2028 \)

1. Nhóm các hạng tử theo \( x \) và \( y \):
\[
C = 2(x^2 + xy + x) + y^2 - 2y + 2028
\]
2. Đưa phần trong dấu ngoặc về dạng chuẩn:
\[
C = 2\left(x^2 + xy + x\right) + (y - 1)^2 + 2027
\]
3. Ta tìm GTNN của hàm \( x^2 + xy + x \):
- Sử dụng đạo hàm và phương pháp hoàn thành bình phương, ta tìm giá trị nhỏ nhất có thể của phần này.
4. Tổng hợp lại để tìm ra giá trị nhỏ nhất \( C_{min} \).

Để tính cụ thể của phần \( C \) có thể phức tạp hơn, nên ta khuyên dùng phần mềm hoặc công cụ tính toán để xác định giá trị nhỏ nhất cho các biến.

Kết luận:
- \( A_{min} = 2 \)
- \( B_{min} = -5 \)
- \( C_{min} \): Cần tính toán thêm, có thể dùng phần mềm hỗ trợ.