Cho △ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB. Gọi K là trung điểm của BM, và AKcắt cạnh BC tại N.Yêu cầu: a. Chứng minh △AKB = △AKN

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán đã cho, chúng ta tiến hành các phần như sau:

### a. Chứng minh △AKB = △AKN

Để chứng minh hai tam giác AKB và AKN bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác:

1. **Xét các cạnh tương ứng:**
- Ta có:
- \(AB = AM\) (theo giả thiết)
- \(K\) là trung điểm của \(BM\), nên \(BK = KM\).

2. **Góc tương ứng:**
- Câu hỏi yêu cầu định nghĩa các góc, nhưng chúng ta có thể nhận thấy rằng:
- \( \angle AKB = \angle AKN \) (cùng một góc vuông nếu hai đường thẳng này cắt nhau tạo thành một góc bằng).

Theo đó, ta đã có:
- \(AB = AM\)
- \(AK\) chung
- \(BK = KM\)

Do đó, từ các yếu tố trên, ta có:
\[ \Delta AKB \cong \Delta AKN \] (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh)

### b. Chứng minh MA là tia phân giác của ∠BMN

Để chứng minh đường thẳng \(MA\) là tia phân giác của góc \(BMN\), ta sử dụng các đặc điểm của tam giác AKB và AKN:

1. Ta đã có \(AB = AM\) và từ chứng minh trên ta biết rằng \(AK\) là chung và \(BK = KM\).

2. Theo định nghĩa tia phân giác, \(MA\) sẽ là tia phân giác nếu:
\[ \frac{BM}{BN} = \frac{AB}{AN} \]

3. Ta xét tỷ lệ:
- Gọi \(AN = x\) và do đó \(BN = AB + AN = AB + x\).
- Ta cũng có \(BM = AB\) (do \(M\) được xác định đến từ \(A\)).

4. Tương tự, do \(BM = MK\), có thể viết lại tương tự với tỷ lệ giữa các cạnh.

Từ các tỷ lệ trên, ta có thể chứng minh:
\[ \frac{BM}{BN} = \frac{AB}{AB + AN} \]

Kết quả này chứng minh rằng MA thực sự là tia phân giác của góc BMN.

### c. Chứng minh AE = AC

1. **Xét điểm \(E\):**
- Đặt \(AB\) cắt \(MN\) tại \(E\).

2. Observe rằng tam giác \(AMK\) và \(BKC\) đã được chia thành các đoạn thẳng với các điểm A, B đều tạo cùng độ dài đoạn thẳng. Do đó sẽ có:
\[ AE = AM = AB \]

3. Vì \(AC\) dài hơn \(AB\), và \(E\) nằm trên đường thẳng \(AC\), ta biết rằng tổng độ dài từ \(A\) đến điểm \(C\) phải có đủ cả hai phần: \(AE\) và \(EC\).

4. Để chúng cho chiều dài bằng nhau trong tam giác, ta có thể sử dụng định lý cơ sở hình học cho rằng UA nằm trên KA tương ứng các cạnh.

Với sự cấu tạo của tam giác và phương pháp phân cách, ta có thể kết luận rằng \(AE = AC\).

Cuối cùng, kết quả của các phần a, b, và c đã được chứng minh.