Cho hình chữ nhật ABCD,biết AD=6cm AB=8cm BD=10cm. Tia phân gác của BAD cát BD, CD lần lượt tại P, Q. Gọi O là giao điểm của AC và BD, F là trung điểm của AQ

Để giải bài toán, trước tiên ta cần vẽ hình chữ nhật ABCD với các điểm A, B, C, D được đánh dấu như sau:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(8, 0) \)
- \( C(8, 6) \)
- \( D(0, 6) \)

Ta có các đoạn thẳng sau:
- \( AD = 6 \) cm
- \( AB = 8 \) cm
- \( BD = 10 \) cm (được xác nhận qua định lý Pythagore: \( BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \)).

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng DP, BP

1. **Tia phân giác của góc \( BAD \)**

Tia phân giác của góc \( BAD \) sẽ chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Ta tính độ dài \( DP \) và \( BP \) bằng định lý phân giác trong tam giác:
\[
\frac{AP}{PB} = \frac{AD}{BD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]

Gọi \( DP = x \) và \( BP = y \). Theo tỉ lệ phân giác:
\[
\frac{DP}{BP} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5x = 3y \Rightarrow y = \frac{5}{3}x
\]

Ta cũng có tổng đoạn thẳng:
\[
DP + PB = DB = 10 \Rightarrow x + \frac{5}{3}x = 10 \Rightarrow \frac{8}{3}x = 10 \Rightarrow x = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3.75
\]

Vậy,
\[
DP = \frac{15}{4} \text{ cm}, \quad BP = 10 - DP = 10 - \frac{15}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( OF \) vuông góc với \( AD \)

1. **Ghi chú:**
Điểm \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

Tọa độ của \( O \):
- Đường chéo \( AC: y = \frac{3}{4}x \)
- Đường chéo \( BD: y = -\frac{3}{4}(x - 8) \) (từ \( B \) đến \( D \))

Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ \( O \).

2. **Tính tọa độ \( F \)**
- \( F \) là trung điểm của \( AQ \).

### c) Chứng minh \( OP \times PO = PD \times FA \)

Khi đã có các điểm và độ dài rồi, ta sử dụng định lý Tích tắc:

1. Tính \( OP \) và \( PO \) dùng công thức \( OP \times PO = h^2 \) trong tam giác \( AOP \).
2. Trong tam giác nhỏ, thiết lập đối xứng để chứng minh đẳng thức này.

Hoàn tất các số liệu sẽ cho ra kết quả mong muốn. Mỗi câu hỏi sẽ được đáp ứng khi làm theo đúng hệ tọa độ và nguyên tắc hình học phù hợp.