Để chứng minh rằng hai đường thẳng \( m \) và \( n \) song song, ta có thể sử dụng định lý về góc đồng vị trong hình học.

### a. Chứng minh: \( m \parallel n \)

1. **Thông tin đã cho**: Ta biết rằng \( \angle A_1 = 60^\circ \) (góc này là một góc phụ thuộc vào vị trí của các đường thẳng).
2. **Góc đồng vị**: Theo tính chất của các đường thẳng cắt nhau, nếu góc \( \angle A_1 \) và góc \( \angle B_1 \) (góc đồng vị) là bằng nhau, tức là \( \angle B_1 = 60^\circ \) thì \( m \parallel n \).
3. **Kết luận**: Do hai góc đồng vị \( \angle A_1 \) và \( \angle B_1 \) bằng nhau, theo định lý thì ta suy ra rằng \( m \parallel n \).

### b. Tính số đo \( B_1, B_2, B_3 \)

- **Góc \( B_2 \)**: Là góc so le trong với \( \angle A_1 \), nên \( \angle B_2 = 120^\circ \) (bởi tổng của góc A và góc B trong một cặp so le là 180°).
- **Góc \( B_3 \)**: Là góc đối diện với \( B_2 \) và sẽ bằng \( 120^\circ \) (góc đối đỉnh).

### Kết luận:
- \( B_1 = 60^\circ \)
- \( B_2 = 120^\circ \)
- \( B_3 = 120^\circ \)

Tóm lại, hai đường thẳng \( m \) và \( n \) là song song khi \( \angle A_1 = 60^\circ \) và các góc tương ứng đã được tính.