Chứng minh P(x) chia hết cho đa thức sau

Để chứng minh rằng đa thức \( P(x) = x^3 + ax + b \) chia hết cho \( Q(x) = x^2 - 2x - 1 \), ta cần chỉ ra rằng \( P(x) \) có nghiệm là các nghiệm của \( Q(x) \).

### Bước 1: Tìm nghiệm của \( Q(x) \)

Giải phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 2x - 1 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
\]

Nghiệm của \( Q(x) \) là \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \) và \( x_2 = 1 - \sqrt{2} \).

### Bước 2: Kiểm tra \( P(x) \) tại các nghiệm của \( Q(x) \)

Ta sẽ kiểm tra xem \( P(1 + \sqrt{2}) = 0 \) và \( P(1 - \sqrt{2}) = 0 \).

**Tính \( P(1 + \sqrt{2}) \)**:

\[
P(1 + \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})^3 + a(1 + \sqrt{2}) + b
\]

Tính \( (1 + \sqrt{2})^3 \) bằng cách sử dụng công thức nhị thức:

\[
(1 + \sqrt{2})^3 = 1 + 3(1^2)(\sqrt{2}) + 3(1)(\sqrt{2}^2) + \sqrt{2}^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}
\]

Do đó:

\[
P(1+\sqrt{2}) = (7 + 5\sqrt{2}) + a(1 + \sqrt{2}) + b
\]

Chia thành các phần:

\[
= 7 + 5\sqrt{2} + a + a\sqrt{2} + b
\]

Tích hợp các hạng tử:

\[
= (7 + a + b) + (5 + a)\sqrt{2}
\]

### Bước 3: Để \( P(1 + \sqrt{2}) = 0 \)

Để đa thức bằng 0, cần có từng hệ số bằng 0:

1. \( 7 + a + b = 0 \)
2. \( 5 + a = 0 \) ⇒ \( a = -5 \)

Thay \( a = -5 \) vào phương trình đầu tiên:

\[
7 - 5 + b = 0 \Rightarrow 2 + b = 0 \Rightarrow b = -2
\]

### Kết quả

Vậy \( a = -5 \) và \( b = -2 \).

Tiếp theo, ta sẽ thực hiện kiểm tra cho \( P(1 - \sqrt{2}) \) theo cách tương tự, và sẽ thấy rằng tương tự cũng cho \( P(1 - \sqrt{2}) = 0 \).

### Kết luận

Với \( P(x) = x^3 - 5x - 2 \), và các nghiệm của \( Q(x) \) đồng thời là nghiệm của \( P(x) \), ta chứng minh được \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \).