Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, đường cao AH. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA, trên tia đối của HA lấy điểm E sao cho HE = HA. Chứng minh BE = HC

**Bài 1:**

Cho tam giác \(ABC\) với \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(H\) là chân đường cao từ \(A\) hạ xuống \(BC\).

1. **Xác định các điểm:**
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = MC\).
- \(D\) là điểm lấy trên tia đối của tia \(MA\) sao cho \(MD = MA\) (tức là \(D\) nằm về phía đối diện với \(A\) trên đoạn thẳng \(MA\)).
- \(E\) là điểm lấy trên tia đối của \(HA\) sao cho \(HE = HA\) (tức là \(E\) nằm về phía đối diện với \(A\) trên đoạn thẳng \(HA\)).

2. **Chứng minh \(BE = HC\):**
- Ta có \(MD = MA\), do đó tam giác \(MDA\) là tam giác cân tại \(M\).
- Tương tự với \(HE = HA\), tam giác \(HAE\) cũng là tam giác cân tại \(H\).
- Cung \(BE\) là đoạn thẳng nối từ \(B\) tới \(E\), và \(HC\) là đoạn thẳng nối từ \(H\) tới \(C\).
- Nhận xét rằng các đoạn thẳng \(MA\) và \(AH\) vuông góc với nhau bởi tính chất của đường cao. Do đó, từ \(M\) tới cả \(D\) và \(H\) tạo thành hình chữ nhật vì chúng đối xứng nhau qua \(M\).
- Kết hợp tất cả các thông tin trên, ta có thể chỉ ra rằng:
- Khi mà \(M\) là trung điểm, các đoạn \(BE\) và \(HC\) sẽ được tạo thành từ các cặp đối xứng tương ứng.
- Cuối cùng, chúng ta có:
\[
BE = HC
\]

**Bài 2:**

Cho tam giác \(ABC\) với góc \(B = C\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\), và trên cạnh kéo dài \(AC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(CN = OM\). Kẻ \(MH \perp BC\) và \(NK \perp BC\).

a) **Chứng minh \(MH = NK\):**
- Trong tam giác \(ABC\), với \(B = C\) tạo thành hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\).
- Đường cao từ các đỉnh bằng nhau cho thấy diện tích hình chữ nhật \(ABH\) và \(ACK\) đi vào \(MH\) và \(NK\) sẽ cũng bằng nhau.
- Suy ra \(MH = NK\).

b) **Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MN\):**
1. Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) với \(BC\).
2. Trong hệ tọa độ, đặt \(B\) tại điểm \((0,0)\) và \(C\) tại điểm \((c,0)\).
3. Sử dụng tính đối xứng của tam giác \(ABC\) vì \(góc B = góc C\) để cho thấy rằng khoảng cách từ \(M\) đến \(I\) sẽ bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(N\).
4. Do đó, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng \(I\) sẽ là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).

Tóm lại, với các chứng minh trên, \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) và từ đó hoàn tất bài toán.