Cho ∆ ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, đường trung tuyến AM. Kẻ MD ⊥ AB và ME ⊥ AC. a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một.

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME sẽ là hình chữ nhật. Lý do là:
1. MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, tức là hai đoạn thẳng MD và ME vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
2. Khi kẻ AM, M là trung điểm của BC, nên đoạn AM sẽ chia tam giác thành hai phần bằng nhau.
3. AD và EM đều là các đoạn vuông góc từ các cạnh đến đường chéo, qua đó tạo thành các góc vuông, đủ điều kiện để ADME thành hình chữ nhật.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

Để tứ giác ADME là hình vuông, ta cần hai điều kiện:
1. **AD phải bằng ME**: Điều này có nghĩa là hai đường cao từ các điểm tới hai cạnh phải bằng nhau.
2. Góc ADME phải bằng 90 độ. Do MD và ME đã vuông góc với AB và AC, nên điều này luôn đúng.

Vậy để ADME là hình vuông, ta cần AD = ME = 6 cm.

### c) Tính diện tích tam giác ABM?

Diện tích của tam giác ABM có thể tính bằng công thức:

\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AM
\]

Với AB = 8 cm và AM là chiều cao, được tính như sau. Đầu tiên, ta biết chiều cao AM bằng:

\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 + AC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = 5 \text{ cm}
\]

Vậy diện tích tam giác ABM là:

\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2.
\]

Tóm lại, các câu trả lời là:
- a) Hình chữ nhật.
- b) AD = ME.
- c) Diện tích tam giác ABM = 20 cm².