Cho I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Kẻ đường thẳng d qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC. Lấy A thuộc d. Chứng minh tam giác AIB = tam giác AIC

Để chứng minh tam giác \( AIB \) bằng tam giác \( AIC \) (ký hiệu là \( AIB \cong AIC \)), chúng ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (sử dụng các cạnh và góc).

### Bước 1: Chứng minh \( AIB \) = \( AIC \)

1. **Điều kiện đầu vào:**
- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) nên \( BI = IC \).

2. **Góc vuông:**
- Đường thẳng \( d \) vuông góc với \( BC \) tại \( I \) nên góc \( AIB = AIC = 90^\circ \).

3. **Tính chất đối xứng:**
- Từ những điều trên, ta thấy:
- \( BI = IC \) (cạnh)
- \( AB = AC \) (do \( A \) thuộc đường thẳng vuông góc, \( A \) nằm trên đường thẳng \( d \), đồng thời \( I \) là trung điểm).

4. **Căn cứ vào hai cạnh và góc:**
- Ta có \( AIB \) và \( AIC \) cùng có góc vuông tại \( I \), với \( BI = IC \) và \( AB = AC \).

Do đó, theo tiêu chí cạnh-cạnh-góc (cuối) \( AIB \cong AIC \).

### Bước 2: Chứng minh tam giác \( AHK \) có 2 cạnh bằng nhau

1. **Thiết lập đường vuông góc:**
- Kẻ \( IH \) vuông góc với \( AB \) và \( IK \) vuông góc với \( AC \).

2. **Xét các tam giác:**
- Xét tam giác \( AHI \) và tam giác \( AKI \):
- Ta đều có góc vuông tại \( H \) và \( K \).
- \( IH = IK \) (cùng là chiều dài của đoạn vuông góc từ \( I \) tới đường thẳng).

3. **Áp dụng định lý đồng dạng:**
- Bằng cây pháp, có 2 cạnh bằng nhau: \( AH = AK \).
- Hệ quả, ta có \( AHK \) có 2 cạnh bằng nhau, tức là \( AH = AK \).

### Kết luận:
Tam giác \( AIB \) bằng tam giác \( AIC \) và tam giác \( AHK \) cũng có 2 cạnh bằng nhau, theo các định lý và tính chất hình học đã trình bày.