Để chứng minh tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng \(BE\) song song với \(IF\) và \(BI\) song song với \(EF\).

1. **Các điểm trung điểm:**
- Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trung điểm của \(BC\), và \(F\) là trung điểm của \(AC\).

2. **Tính chất điểm trung điểm:**
- Từ tính chất của trung điểm, ta có \(AE = EB\), \(BG = GC\), và \(AF = FC\).

3. **Tìm vectơ của các đoạn thẳng:**
- Gọi tọa độ các điểm \(A\), \(B\), \(C\) lần lượt là \((0, 0)\), \((a, 0)\), \((0, b)\).
- Tọa độ của các điểm trung điểm có thể được tính như sau:
- \(E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
- \(G\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\)
- \(F\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right)\)

4. **Đường thẳng \(EF\) và \(BI\):**
- Ta kẻ đường thẳng \(EI\) song song với \(BF\).
- Điều này đảm bảo rằng vectơ \(EI\) và vectơ \(BF\) sẽ có cùng phương (tương đương với việc có hệ số góc bằng nhau).

5. **Chứng minh tứ giác là hình bình hành:**
- Ta có:
- \(EI \parallel BF\)
- \(BE\) là một cạnh, trong khi đó \(IF\) là cạnh đối diện.
- Vừa chứng minh được rằng \(BE \parallel IF\) (do \(EI \parallel BF\), và \(BE\) nằm trên đường thẳng \(AB\)).

6. **Sử dụng tính đồng phương:**
- Vì \(G\) là trung điểm của \(BF\), và \(F\) là trung điểm của \(AC\), từ đó \(BI\) sẽ đi qua điểm \(G\) và \(E\). Như vậy cả hai cặp cạnh \(BE\) và \(IF\), \(BI\) và \(EF\) đều song song và bằng nhau.

Do đó, ta có được rằng tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành.

### Kết luận:
Tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành vì \(BE \parallel IF\) và \(BI \parallel EF\).