Để chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các thông tin đã cho**:
- Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
- AH là đường cao, do đó nó vuông góc với BC tại điểm H.
- M là trung điểm của AB, do đó AM = MB.
- ME = MH (E nằm trên tia đối của MH).

2. **Chứng minh hai cạnh AH và BE là song song và bằng nhau**:
- Vì ME = MH, nên tam giác MHE vuông tại H, với MH = ME.
- Do AH vuông góc với BH (vì AH là đường cao), nên góc AHB = 90°.
- Từ đó, ta có AB = AC (tam giác đều), nên HA = HB.

Từ đó suy ra AH || BE (vì cả hai đều vuông góc với BC).

3. **Chứng minh bốn góc của tứ giác**:
- Ta có góc AHE = góc MHE + góc AHM.
- Vì M là trung điểm, nên ME = MH, và do đó góc AHE = 90°.
- Tương tự, thực hiện cho góc BHE, ta cũng có được góc BHE = 90°.

4. **Kết luận**:
- Tứ giác AHBE có bốn góc vuông và hai cạnh đối diện bằng nhau (AH = BE và AB = HE).
- Do đó, tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác AHBE là hình chữ nhật.