Cho tam giác ABC có AB nhỏ hơn AC; tia phân giác của góc A cắt BC tại D; trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB

Để chứng minh các yêu cầu trong bài, chúng ta sẽ thực hiện qua các bước:

### A. Chứng minh \( DC = DM \)

1. **Thiết lập tam giác và các điểm**: Gọi \( D \) là giao điểm của tia phân giác \( AD \) với cạnh \( BC \). Ta có \( AE = AB \).

2. **Sử dụng định lý phân giác**:
Từ định lý phân giác, ta có
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Gọi \( AB = c \), \( AC = b \) thì
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}
\]

3. **Xét tam giác \( ABE \)**:
Do \( AE = AB \) nên tam giác \( ABE \) là tam giác cân tại \( A \). Suy ra rằng góc \( ABE \) bằng góc \( AEB \).

4. **Xét góc giữa tia \( ED \) và cạnh \( AB \)**:
Khi kẻ tia \( ED \) cắt tia \( AB \) tại \( M \), ta có
\[
\angle ADB = \angle ADH
\]
Bởi vì tứ giác \( ADEB \) có \( AE = AB \).

5. **Áp dụng định lý Sin**:
Từ tam giác \( ADB \) và tam giác \( AMC \), do có cùng một góc tại \( A \) và góc \( ADB = AEM \), suy ra \( \frac{DC}{DM} = \frac{AC}{AB} \).
Từ đây, nếu sử dụng định lý Sin cho tam giác \( ADB \) và tam giác \( CMD \), ta được \( DC = DM \).

### B. Chứng minh \( A, D, H \) thẳng hàng

1. **Kẻ đường thẳng song song**:
Kẻ đường thẳng \( xy \) song song với \( ME \) qua điểm \( C \) và kẻ đường thẳng \( yx \) song song với \( BC \) thì hai đường này cắt nhau tại điểm \( H \).

2. **Sử dụng tính chất của đường thẳng song song**:
Do \( HM \parallel BC \) và ta có \( AD \) là phân giác, nên theo tính chất góc so le trong thì
\[
\angle ADB = \angle DHC
\]
Tức là \( D \) nằm trên đường cao từ \( A \) đến \( HC \).

3. **Suy diễn từ các góc**:
Vì \( DC = DM \) và yếu tố là \( MH \) cũng chia đoạn thẳng \( AD \) thành hai phần đều nhau tạo ra điểm \( H \).

4. Kết luận: Bằng cách thỏa mãn điều kiện về góc và sự song song, có thể kết luận rằng ba điểm \( A, D, H \) thẳng hàng.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được \( DC = DM \) và ba điểm \( A, D, H \) thẳng hàng.