Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành phân tích và chứng minh từng phần một cách có hệ thống.

### Dữ kiện ban đầu:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( AC \).
- Trên tia đối của tia \( BMB \), lấy điểm \( M' \) sao cho \( MA = MB \).
- Trên tia đối của tia \( AB \), lấy điểm \( K \) sao cho \( AK = AB \).

### a) Chứng minh \( \triangle AMB \) bằng \( \triangle CME \).

Trong tam giác vuông \( ABC \):
- Ta có \( AB \) vuông góc với \( AC \), và từ đó suy ra được rằng góc \( A \) của tam giác \( ABC \) là góc vuông.

Xét hai tam giác \( AMB \) và \( CEM \):
- \( AM = MC \) vì \( M \) là trung điểm của \( AC \).
- Ta cần chỉ ra rằng \( AB = CE \) và góc \( \angle AMB = \angle CEM \).

Do \( AK = AB \) mà \( K \) được vẽ trên tia đối của tia \( AB \), suy ra \( AB = CE \).

Ta có:
- Từ định nghĩa của điểm \( M' \) trên tia đối của \( BMB \), thì \( MA = MB \).
- Do đó, \( \triangle AMB \) sẽ có một cạnh và hai góc tương ứng với \( \triangle CEM \), do đó \( \triangle AMB \cong \triangle CEM \) theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh.

### b) Chứng minh \( AB \) song song với \( CE \).

Tại điểm \( A \):
- Ta đã chứng minh rằng \( AB = CE \) và \( \angle AMB = \angle CEM\).
- Vì \( \angle AMB \) và \( \angle CEM \) đều bằng nhau, ta có thể nói rằng các đường \( AB \) và \( CE \) sẽ song song với nhau theo định lý góc đồng vị.

### c) Chứng minh \( MK = ME \).

Khi xem xét điểm \( K \):
- Theo điều kiện đề bài, \( AK = AB \) tức là \( K \) được vẽ sao cho khoảng cách từ \( A \) đến \( K \) là đúng bằng khoảng cách từ \( A \) đến \( B \).
- Từ \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( MK \) cũng sẽ có độ dài bằng \( AB = CE \) từ phần chứng minh \( \triangle AMB \) và \( \triangle CME\) đã chỉ ra.

Cùng với việc \( M' \) là điểm đối xứng của điểm \( M \) thông qua điểm \( A \), điều này cho thấy rằng:
- Đường nối \( MK \) và \( ME \) sẽ tạo thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Ta có thể rút ra được \( MK = ME \).

### Kết luận:
- Đã chứng minh được các yêu cầu \( a), b), c) \) theo các lập luận hình học trên mặt phẳng.
- Do đó, kết quả bài toán được hoàn thành.