Với \( x, y \in \mathbb{Z} \): \( 2xy + 6x^2 - 3x - y = 7 \). Cho \( a^2 + b^2 + c^2 = 0 \) thì \( P = a^2(a-1) + b^2(b-1) + c^2(c-1) + 2024 \)

Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một.

### Phần a:

Giải phương trình \( 2xy + 6x^2 - 3x - y = 7 \).

Sắp xếp lại phương trình, ta có:

\[
2xy - y + 6x^2 - 3x - 7 = 0
\]

Phương trình này có dạng bậc nhất theo \( y \). Ta có thể nhóm lại:

\[
y(2x - 1) = -6x^2 + 3x + 7
\]

Từ đó, ta có:

\[
y = \frac{-6x^2 + 3x + 7}{2x - 1}
\]

### Phân tích nghiệm

Chúng ta cần \( y \in \mathbb{Z} \), do đó điều kiện \( 2x - 1 \) phải chia hết cho \( -6x^2 + 3x + 7 \).

Ta có thể tìm các giá trị nguyên cho \( x \) và kiểm tra nghiệm tương ứng cho \( y \).

### Phần b:

Cho \( a^2 + b^2 + c^2 = 0 \) thì \( a, b, c \) phải đều bằng 0.

Tính giá trị của \( P \):

\[
P = a^2(a-1) + b^2(b-1) + c^2(c-1) + 2024
\]

Thay \( a = 0, b = 0, c = 0 \):

\[
P = 0^2(0-1) + 0^2(0-1) + 0^2(0-1) + 2024 = 0 + 0 + 0 + 2024 = 2024
\]

### Kết quả cuối cùng:

\[
P = 2024
\]