Tính f(x) biết f(x) : x - 2 dư 5; x - 3 dư 7 < x; chia (x - 2)(x - 3) được thương (x - 1)(x + 1) và còn dư?

Để giải bài toán này, ta cần tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn hai điều kiện:

1. \( x - 2 \equiv 5 \) (mod 5)
2. \( x - 3 \equiv 7 \) (mod 7)

Và yêu cầu chia \( f(x) \) cho biểu thức \( (x - 2)(x - 3) \) được thương \( (x - 1)(x + 1) \) và còn dư.

### Bước 1: Tìm giá trị của \( x \)

**Điều kiện thứ nhất:**
\[ x - 2 \equiv 5 \, (\text{mod} \, 5) \]
Tức là \( x - 2 = 5k \) với \( k \) là số nguyên. Vậy:
\[ x = 5k + 2 \]

**Điều kiện thứ hai:**
\[ x - 3 \equiv 7 \, (\text{mod} \, 7) \]
Tức là \( x - 3 = 7m \) với \( m \) là số nguyên. Vậy:
\[ x = 7m + 3 \]

### Bước 2: Giải hệ phương trình
Từ hai biểu thức trên, ta có:
\[ 5k + 2 = 7m + 3 \]
Suy ra:
\[ 5k - 7m = 1 \]

Phương trình này là một phương trình Diophantine. Muốn tìm nghiệm tổng quát, ta có thể thử các giá trị cho \( k \) và \( m \).

### Bước 3: Tìm \( f(x) \)

Ta biết rằng \( (x - 2)(x - 3) \) có nghiệm ở \( x = 2 \) và \( x = 3 \), và ta cần tìm một \( f(x) \) có dạng:
\[ f(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3) + R(x) \]
Trong đó \( R(x) \) là phần dư.

### Bước 4: Xác định \( R(x) \)
Ta biết rằng bậc của \( R(x) \) phải nhỏ hơn 2 (bậc của đa thức chia):
\[ R(x) = ax + b \]

Điều kiện cho \( f(x) \) thỏa mãn:
1. Khi \( x = 2 \): \( R(2) = f(2) \)
2. Khi \( x = 3 \): \( R(3) = f(3) \)

Với điều kiện thỏa mãn, ta đi tìm giá trị của \( a \) và \( b \).

### Kết luận
Do thông tin trong bài chưa đủ để đi sâu vào việc xác định giá trị cụ thể cho \( a \) và \( b \), nên ta cần thêm điều kiện về giá trị cụ thể của \( f(x) \) tại các điểm đã cho. Bạn có thể cho biết thêm về điều kiện để hoàn tất việc tính toán.