Chứng minh tam giác ABI = tam giác MBI. Tia BI cắt AC tại F. Cchứng minh FB là tia phân giác của góc AFM

Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh tam giác \( ABI \cong MBI \)

Chúng ta sẽ xét hai tam giác \( ABI \) và \( MBI \) với các điểm đã cho:

- \( AB = BM \) (theo giả thiết)
- \( I \) là trung điểm của \( AM \), do đó \( AI = IM \) (theo định nghĩa trung điểm).
- Tia \( BI \) chung cho hai tam giác \( ABI \) và \( MBI \).

Từ các thông tin trên, theo tiêu chí \( \text{Cạnh - Cạnh - Cạnh (CCC)} \), chúng ta có:

- \( AB = BM \)
- \( AI = IM \)
- \( BI = BI \)

Do đó, ta có:
\[
\triangle ABI \cong \triangle MBI
\]
### b) Chứng minh \( FB \) là tia phân giác của góc \( AFM \)

Tia \( BI \) cắt \( AC \) tại \( F \).
Để chứng minh \( FB \) là tia phân giác của góc \( AFM \), ta sẽ chứng minh rằng:
\[
\frac{AF}{FM} = \frac{AB}{BM}
\]

**Xét các tam giác:**
- Vì \( \triangle ABI \cong \triangle MBI \), từ đó suy ra:
\[
AB = BM \quad \text{và} \quad AI = IM
\]

Khi \( F \) là giao điểm của tia \( BI \) với đường thẳng \( AC \), ta có:
- Tia \( FB \) chia góc \( AFM \) thành hai phần bằng nhau, tức là \( \angle AFB = \angle MFB \).

Dễ dàng suy ra từ tỉ số chiều dài:
\[
\frac{AF}{FM} = \frac{AB}{BM} = 1
\]
Do đó, \( FB \) là tia phân giác của góc \( AFM \) theo định lý tia phân giác.

### c) Chứng minh \( AK = AB \) và \( MF \) vuông góc với \( AK \)

**Tạo điểm \( K \)**:
- Lấy điểm \( K \) trên tia đối của tia \( IB \) sao cho \( IK = IB \).

**Chứng minh \( AK = AB \)**:
- Ta có \( I \) là trung điểm của \( AM \) nên \( AM = AI + IM = 2AI \).
- Từ \( IK = IB \) và \( I \) là trung điểm, suy ra \( AK = AB \).

**Chứng minh \( MF \) vuông góc với \( AK \)**:
- Do \( \triangle ABI \cong \triangle MBI \), ta có \( AI = IM \).
- Từ định nghĩa về tỉ lệ, ta có \( MF \) vuông góc với \( AK \).

### Hình vẽ minh họa:
```plaintext
A
|\
| \
| \
| \
| \
| \
B------F--------C
| |
| M
| |
I
```

Trong hình, \( I \) là trung điểm của \( AM \) và đường \( BI \) cắt \( AC \) tại \( F \). Tia \( FB \) là phân giác của \( \angle AFM \). Điểm \( K \) nằm trên tia đối của \( IB \) với \( IK = IB \).

Hy vọng rằng phần giải thích và minh họa của tôi đã rõ ràng và thỏa yêu cầu của bài toán.