Để chứng minh bốn điểm \( A, K, H, E \) cùng thuộc một đường tròn tâm \( I \), ta sẽ áp dụng một số định lý trong hình học.

### Chứng minh bốn điểm A, K, H, E cùng thuộc một đường tròn tâm \( I \):
1. **Được biết từ tính chất đường cao**: Trong tam giác cân \( \Delta ABC \) (cân tại \( A \)), các đường cao \( AD, BE, CK \) sẽ cắt nhau tại \( H \), tức là \( H \) là trực tâm của \( \Delta ABC \).

2. **Sử dụng tính chất BC**: Ta biết rằng trong tam giác cân, góc giữa các cạnh bên sẽ bằng nhau, do đó \( \angle ABE = \angle ACB \) và \( \angle AKE = \angle AHB \).

3. **Chứng minh tính đồng dạng**:
- Xét tam giác \( ABE \) và tam giác \( AKH \):
- Ta có \( AE \) và \( AK \) là hai cạnh kề (cùng hướng từ A) và \( \angle ABE = \angle AHK \).
- Như vậy, ta có \( \Delta ABE \sim \Delta AKH \).

4. **Áp dụng định lý đường tròn**:
- Theo tính chất các góc ở đáy của tam giác cân và các tam giác đồng dạng đã chứng minh, bốn điểm \( A, K, H, E \) sẽ cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là do \( H \) là trực tâm, \( A \) là đỉnh và \( E \) là chân đường cao).

### So sánh \( KE \) với \( AH \):
- Do \( K \) và \( H \) đều nằm trên đoạn thẳng từ \( A \) xuống \( BC \), và \( H \) là trực tâm, nên:
- \( AH \) sẽ là đường thẳng nối \( A \) với trực tâm \( H \), trong khi đó \( KE \) là đoạn nối từ cao \( K \) tới chân của nó \( E \).
- Do \( H \) gần hơn với điểm thẳng đứng của đường cao từ \( K \) xuống đáy \( BC \), ta có thể kết luận \( KE < AH \).

### Kết luận:
Vậy, bốn điểm \( A, K, H, E \) cùng thuộc một đường tròn và \( KE < AH \).