Giả sử tam giác \(MNP\) có \(MN = MP\) và \(I\) là trung điểm của đoạn \(NP\).

a. **Chứng minh tam giác \(MNI\) bằng tam giác \(MPI\)**:

Ta có:
- \(MN = MP\) (do đề bài)
- \(NI = PI\) (do \(I\) là trung điểm của \(NP\))

Vì vậy, có:
- \(\angle MNI = \angle MPI\) (cùng một góc đối diện với cạnh \(NI\) và \(PI\))

Từ đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (Khi hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc kẹp giữa chúng bằng nhau), ta có:
\[
\triangle MNI \cong \triangle MPI
\]
(Chứng minh theo tiêu chí \(c.g.c\)).

---

b. **Chứng minh tam giác \(MKI = MHI\)**:

Gọi \(K\) là điểm thuộc \(MN\) sao cho \(IK \perp MN\) và \(H\) là điểm thuộc \(MP\) sao cho \(IH \perp MP\).

Ta có:
- \(MK = MH\) (cùng là khoảng cách từ điểm \(M\) đến hai đoạn thẳng vuông góc)
- \(IK = IH\) (đều bằng độ dài từ điểm trung điểm \(I\) đến hai đoạn thẳng vuông góc)

Và do hai tam giác \(MKI\) và \(MHI\) đều có \(\angle MIK = \angle MIH = 90^\circ\).

Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (Khi hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc vuông), ta có:
\[
\triangle MKI \cong \triangle MHI
\]
(Chứng minh theo tiêu chí \(c.c.c\)).

---

c. **Chứng minh \(M, E, I\) thẳng hàng**:

Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(HK\).

Theo định nghĩa:
- \(IE\) là đoạn thẳng nối từ trung điểm \(I\) đến trung điểm \(E\) của \(HK\).


Ta cần chứng minh \(M, I, E\) thẳng hàng.

Vì \(I\) là trung điểm của \(NP\) và \(K\) cũng thỏa điều kiện là đường vuông góc từ \(I\) xuống \(MN\), nên \(M\) nằm trên đường thẳng kéo dài của \(IE\).

Khi \(E\) là trung điểm của \(HK\) và \(K\), \(H\) đều thuộc các đoạn thẳng vuông góc là \(MK\) và \(MH\).
Tức là:
- M, I và E nằm trên cùng một đường thẳng vì \(E\) vừa là trung điểm, vừa nằm trên đường nối kéo dài từ I qua M.

Do đó, ta có:
\[
M, E, I \text{ thẳng hàng.}
\]

Kết luận, ta đã chứng minh xong bài toán với ba phần a, b, c.