Để tính góc \( BKH \) trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle ABC = 60^\circ \), ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và hình học.

1. **Tính góc \( ACB \)**: Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \),
\[
\angle ACB = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
\]

2. **Tính góc \( HBC \)**: Vì \( H \) là trung điểm của \( BC \),
\[
\angle HBC = \angle ABC = 60^\circ.
\]

3. **Tính góc \( BKH \)**:
- Khi kẻ từ \( H \) đường thẳng vuông góc với \( BC \) cắt \( AC \) tại \( K \), ta có \( HK \perp BC \).
- Do đó, trong tam giác \( BKH \),
\[
\angle BKH + \angle HBC = 90^\circ.
\]
- Thay \( \angle HBC = 60^\circ \),
\[
\angle BKH + 60^\circ = 90^\circ.
\]
- Vậy,
\[
\angle BKH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
\]

Kết luận, góc \( BKH \) bằng \( 30^\circ \).

**Đáp án:** A) \( 30^\circ \).