Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC
- **Tam giác AMB** và **tam giác DMC** có điểm chung là điểm M.
- Ta có:
- MA = MD (theo đề bài)
- AM = CM (M là trung điểm của BC)
- Góc AMB = Góc DMC (góc đối diện tại M)

=> Tam giác AMB = tam giác DMC (theo tiêu chuẩn hai cạnh và góc xen giữa).

### b) Chứng minh AC // BD
- Theo kết quả ở phần a), ta có tam giác AMB = tam giác DMC. Từ đó, ta suy ra rằng:
- Góc AMB = Góc DMC
- AC // BD (do các góc đồng vị bằng nhau).

### c) Gọi I là trung điểm của AC, vẽ điểm E sao cho I là trung điểm của BE, chứng minh C là trung điểm của DE
- Từ I là trung điểm của AC, ta có:
- AI = IC.
- Ta có điểm I là trung điểm của BE nên:
- BI = IE.
- Do đó, C và E cũng đồng thời chia điểm D thành các đoạn bằng nhau, tức là C chính là trung điểm của DE.

### d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để BE vuông góc với AC
- Để BE vuông góc với AC, góc AIB cần phải bằng 90 độ, trong đó I là trung điểm của AC.
- Từ đó, ta có thể áp dụng hệ thức lượng hoặc điều kiện trong tam giác vuông để tìm ra mối liên hệ giữa các cạnh và góc mà bạn đã có trong tam giác ABC.

Hy vọng những hướng dẫn trên sẽ giúp bạn giải bài toán một cách đầy đủ!