Để chứng minh rằng BH = CK cho tam giác ABC có góc ABC bằng góc ACB, ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt ký hiệu**: Gọi \( \angle ABC = \angle ACB = \alpha \) và \( \angle BAC = 180^\circ - 2\alpha \).

2. **Đặt các điểm**: Ta có điểm B thuộc cạnh AC, điểm H là chân đường vuông góc từ B đến AC và điểm K là chân đường vuông góc từ C đến AB.

3. **Sử dụng tính chất tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông BHC (có BH vuông góc với AC):
\[ \tan(\angle ABC) = \frac{BH}{BC} \]
- Tương tự, trong tam giác vuông CKC (có CK vuông góc với AB):
\[ \tan(\angle ACB) = \frac{CK}{AC} \]

4. **Áp dụng tỷ lệ giữa hai tam giác**:
- Do các góc tương ứng bằng nhau \( \angle ABC = \angle ACB \), nên:
\[ \frac{BH}{BC} = \frac{CK}{AC} \]

5. **Sử dụng tính chất của tam giác đều**:
- Nếu triệu chứng của tam giác ABC có hai góc bằng nhau (tức là ABC = ACB), thì tam giác ABC là tam giác cân tại A. Điều này sẽ đưa tới hệ quả rằng hai đoạn BH và CK là hai đoạn cao của tam giác và do đó chúng có cùng độ dài.

6. **Kết luận**: Vì trong tam giác đều, các đoạn cao từ các đỉnh đến các cạnh tương ứng đều có độ dài bằng nhau, ta có:
\[ BH = CK \]

Vậy ta đã chứng minh xong điều cần chứng minh.