Để tìm tất cả các số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho \( 7p + q \) và \( pq + 11 \) cũng là số nguyên tố, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra các trường hợp cho \( p \) và \( q \).

1. **Kiểm tra trường hợp \( p = 2 \):**
- \( q \) là một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2.
- Tính \( 7p + q = 7 \cdot 2 + 2 = 14 + 2 = 16 \) (không phải số nguyên tố).
- Với các số nguyên tố lẻ như \( q = 3, 5, 7, \ldots \):
- \( q = 3 \): \( 7 \cdot 2 + 3 = 14 + 3 = 17 \) (số nguyên tố).
- Tính \( pq + 11 = 2 \cdot 3 + 11 = 6 + 11 = 17 \) (số nguyên tố).
- Ta có cặp \( (p, q) = (2, 3) \).
- \( q = 5 \): \( 7 \cdot 2 + 5 = 14 + 5 = 19 \) (số nguyên tố).
- Tính \( pq + 11 = 2 \cdot 5 + 11 = 10 + 11 = 21 \) (không phải số nguyên tố).
- \( q = 7 \): \( 7 \cdot 2 + 7 = 14 + 7 = 21 \) (không phải số nguyên tố).
- \( q = 11 \): \( 7 \cdot 2 + 11 = 14 + 11 = 25 \) (không phải số nguyên tố).

Kết quả: Cặp duy nhất cho trường hợp \( p = 2 \) là \( (2, 3) \).

2. **Kiểm tra trường hợp \( p = 3 \):**
- \( q \) là số nguyên tố lẻ (3, 5, 7, 11, 13, ...).
- Tương tự như trên, ta sẽ tính cho các trường hợp \( q \):
- \( q = 3 \): \( 7 \cdot 3 + 3 = 21 + 3 = 24 \) (không phải số nguyên tố).
- \( q = 5 \): \( 7 \cdot 3 + 5 = 21 + 5 = 26 \) (không phải số nguyên tố).
- \( q = 7 \): \( 7 \cdot 3 + 7 = 21 + 7 = 28 \) (không phải số nguyên tố).
- \( q = 11 \): \( 7 \cdot 3 + 11 = 21 + 11 = 32 \) (không phải số nguyên tố).
- Tương tự, khi tăng \( q \) lên các số lớn hơn, ta thấy giá trị \( 7p + q \) luôn chẵn và lớn hơn 2, vì vậy không có cặp nào với \( p = 3 \).

3. **Tiếp tục với các số nguyên tố khác cho \( p \):**
- Kiểm tra các số nguyên tố tiếp theo như \( p = 5, 7, 11, \ldots \):
- Với \( p = 5 \) và \( q = 2, 3, 5, \ldots \):
- Tương tự, giá trị \( 7p + q \) sẽ lớn hơn 2 và không có sự kết hợp nào cho trường hợp này để đảm bảo cả hai biểu thức đều là số nguyên tố.

4. **Kết luận:**
Sau khi kiểm tra các trường hợp, chỉ có cặp duy nhất thỏa mãn điều kiện là:
- \( (p, q) = (2, 3) \).

Do đó, các số nguyên tố \( p \) và \( q \) thỏa mãn điều kiện là: **\( (2, 3) \)**.