Để chứng minh rằng ba điểm \( O, E, F \) thẳng hàng, ta sử dụng một số yếu tố hình học từ bài toán đã cho. Dưới đây là các bước chứng minh cụ thể:

1. **Giả thiết**: Ta có \( OP = OC = OD \) và \( OB < OP \). Đặt điểm \( F \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \).

2. **Tam giác**: Theo giả thiết, các tam giác \( \triangle AOP \) và \( \triangle AOB \) là tam giác cân (vì \( OP = OC \)). Điều này dẫn đến việc cạnh đáy của các tam giác này là \( AB \).

3. **Các đoạn thẳng**: Chúng ta biết rằng đường thẳng \( PD \) cắt \( CB \) tại điểm \( E \) và do đó \( E \) nằm giữa \( C \) và \( B \).

4. **Vị trí của \( F \)**: Vì \( F \) là trung điểm của \( BD \), ta có thể khẳng định mọi đường thẳng nối \( O \) đến \( F \) sẽ song song với \( BD \) nhờ hình thang (hoặc các đường song song).

5. **Kết luận**: Bằng cách sử dụng định lý đường trung bình hoặc tính chất của đường thẳng song song, ta có thể kết luận rằng ba điểm \( O, E, F \) thẳng hàng, vì \( F \) chia đoạn thẳng \( BD \) theo tỉ lệ nhất định và \( O \) nằm trên đường thẳng đi qua \( E \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( O, E, F \) là ba điểm thẳng hàng.