Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán về tam giác ABC với AB = AC và M là trung điểm của BC, ta làm như sau:

### a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC và AM là phân giác của góc BAC.

1. **Chứng minh ∆AMB = ∆AMC**:
- Ta có:
- AB = AC (theo giả thiết).
- BM = CM (vì M là trung điểm của BC).
- AM = AM (cạnh chung).
- Áp dụng tiêu chuẩn cạnh – cạnh – cạnh (CC = CC), ta suy ra ∆AMB = ∆AMC.

2. **Chứng minh AM là phân giác của góc BAC**:
- Từ sự đồng dạng này, ta có:
- ∠AMB = ∠AMC (do ∆AMB = ∆AMC).
- Do đó, AM sẽ chia góc BAC thành hai góc bằng nhau, tức là AM là phân giác của góc BAC.

### b) Gọi I là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia IM lấy điểm D sao cho I là trung điểm của DM. Chứng minh ∠IAD = ∠IBM và AD = BM.

1. **Chứng minh ∠IAD = ∠IBM**:
- Theo giả thiết, I là trung điểm của AB nên AI = IB.
- Ta đã chứng minh ∆AMB = ∆AMC, do đó ∠AMB = ∠AMC.
- Xét tam giác AID và BIM, ta có:
- AI = IB (do I là trung điểm của AB).
- AD = BM (sẽ chứng minh ở bước sau).
- Suy ra ∠IAD = ∠IBM.

2. **Chứng minh AD = BM**:
- Do I là trung điểm của DM, nên ID = IM.
- Qua đó, ta có thể kết luận rằng AD = BM theo định nghĩa về trung điểm.

### c) Chứng minh AB = DM.

- Từ việc đã chứng minh AD = BM và I là trung điểm của AB, ta có AB = 2AI (vì I là trung điểm).
- Cũng do I là trung điểm của DM, nên DM = 2ID.
- Kết hợp với việc AD = BM và dựa vào tính đối xứng của tam giác, ta có AB = DM.

Như vậy, toàn bộ mệnh đề của bài đã được chứng minh.