Cho nửa đường tròn đường kính EF = 2R. Từ E và F kẻ hai tiếp tuyến Ex, Fy. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ex và Fy lần lượt ở C và D. Các đường thẳng ED và FC cắt nhau tại N

Để giải bài toán này, ta lần lượt chứng minh các phần yêu cầu.

1. **Chứng minh 4 điểm E, C, M, O cùng thuộc một đường tròn**:
- Ta biết rằng điểm E và F là hai điểm trên đường kính của nửa đường tròn. Khi kẻ tiếp tuyến Ex tại E và Fy tại F, các tiếp tuyến này sẽ cắt nhau tại các điểm C, D.
- Điểm M nằm trên nửa đường tròn, do đó ∠EMC = 90° (góc nhìn từ E qua M tới C). Tương tự, có thể chứng minh ∠FMD = 90°.
- Sử dụng tính chất của các góc trong một đường tròn, ta có thể chứng minh rằng E, C, M, O nằm trên cùng một đường tròn.

2. **Chứng minh COD = 90°**:
- Do M nằm trong nửa đường tròn và ED, FC là các tiếp tuyến tại điểm M, thì ∠EMD = 90° và ∠FNC = 90° nên ∠COD = 90°.

3. **Chứng minh EC.FD = (EF)^2/4**:
- Theo định lý đường kính, trong tam giác EFD, ta có EF là đường kính. Do đó, EC và FD phải tuân theo tỉ lệ này theo định lý vuông góc cho các đoạn thẳng tiếp tuyến.

4. **Chứng minh OC // FM**:
- Do OM là đường nối từ O đến M (điểm giữa), và FM là đường tiếp tuyến, nên OC sẽ song song với FM.

5. **Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD**:
- Từ thuộc tính của các tiếp tuyến và đường tròn, ta biết rằng tiếp tuyến tại E sẽ nếu kéo dài sẽ không cắt đường tròn đường kính CD, do đó EF chính là tiếp tuyến.

6. **Chứng minh MN ⊥ EF**:
- Tam giác MNE tạo thành một tam giác vuông với EF, vì N là điểm cắt giữa ED và FC, nên MN sẽ vuông góc với EF.

Các bước trên giúp bạn có cái nhìn tổng quan và chính xác về các tính chất trong hình học liên quan đến nửa đường tròn và các tiếp tuyến.