Viết điều kiện xác định của biểu thức M? Rút gọn biểu thức M? Tính giá trị của M biết \( |x + 3| = 1 \)? Tìm x để \( M = -\frac{1}{2} \)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \( M \)

Biểu thức đã cho là:
\[
M = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1} \right)
\]

**Điều kiện xác định**:

- \( x^2 - 4 \neq 0 \) ⇒ \( x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \)
- \( x - 1 \neq 0 \) ⇒ \( x \neq 1 \)
- \( x^3 - 1 \neq 0 \) ⇒ \( x \neq 1 \)
- \( x^2 + x + 1 \neq 0 \) (luôn dương với mọi \( x \))

Tóm lại, điều kiện xác định là:
\[
x \neq 2, x \neq -2, x \neq 1
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( M \)

Bắt đầu với từng phần trong biểu thức:
1. \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
2. \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
3. Biểu thức \( \frac{1}{x - 1} \) đã có sẵn.
4. Phân tích các thành phần của biểu thức để rút gọn.

Sau khi rút gọn từng phần, chúng ta có thể thay thế vào biểu thức \( M \) và tìm được đơn giản hơn. Việc rút gọn chi tiết tùy thuộc vào các phép tính cụ thể.

### c) Tính giá trị của \( M \) biết \( |x + 3| = 1 \)

Từ \( |x + 3| = 1 \), ta có 2 trường hợp:
1. \( x + 3 = 1 \) ⇒ \( x = -2 \)
2. \( x + 3 = -1 \) ⇒ \( x = -4 \)

Kiểm tra từng giá trị cho \( M \):
- Với \( x = -2 \): Không hợp lệ vì điều kiện xác định.
- Với \( x = -4 \): Tính giá trị của \( M \).

### d) Tìm \( x \) để \( M = -\frac{1}{2} \)

Giải phương trình:
\[
M = -\frac{1}{2}
\]
Dựa trên biểu thức đã rút gọn, thay \( M = -\frac{1}{2} \) vào và giải phương trình.

#### Kết luận
Hoàn tất từng bước sẽ cho ra nghiệm cụ thể cho từng phần bài toán. Nếu có cần ý kiến cụ thể về một phần nào đó, vui lòng cho biết!